Nombre premier de Fibonacci

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En arithmétique, un nombre premier de Fibonacci « est un nombre de Fibonacci qui est premier[1] ».

Les sept plus petits nombres de Fibonacci \mathcal F_n qui sont de plus premiers sont[2] 2, 3, 5, 13, 89, 233 et 1 597, et les indices n correspondants sont 3, 4, 5, 7, 11, 13 et 17.

Primalité des nombres de Fibonacci[modifier | modifier le code]

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que \mathcal F_n divise \mathcal F_{kn} (voir la propriété 6 dans le § « Propriétés » de l'article sur la suite de Fibonacci), et donc que, pour tout n > 4, si \mathcal F_n est premier, alors n est premier, mais la réciproque est fausse (\mathcal F_{19}=4181=37\times 113 est le premier contre-exemple non trivial). En octobre 2015, le plus grand nombre premier de Fibonacci connu est \mathcal F_{81~839}[1] et le plus grand nombre de Fibonacci probablement premier connu est \mathcal F_{2~904~353}[3], qui a 606 974 chiffres.

En 1964, Ronald Graham a donné une méthode pour construire des suites sans nombres premiers (en), c'est-à-dire des suites (Tn) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

  • Tn+2 = Tn+1 + Tn ;
  • Tn et Tn+1 sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun) ;
  • aucun Tn n'est premier.

Dans la suite qu'il proposait (suite A083103 de l'OEIS), les deux termes initiaux comportaient 34 chiffres décimaux[4]. En affinant sa méthode, on a réussi à construire de telles suites avec deux termes initiaux plus petits :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Fibonacci Number, sur le site Prime Pages.
  2. Voir les suites A005478 et A001605 de l'OEIS pour plus de termes de cette sous-suite et de ses indices.
  3. Henri Lifchitz, juillet 2014, PRP Records et suite A001605 de l'OEIS.
  4. On ne sait en fait pas si tous les termes de cette suite sont effectivement composés, à cause d'une erreur de calcul. La suite A083104 en est la version rectifiée en 1990 par Knuth.
  5. (en) M. Vsemirnov, « A New Fibonacci-like Sequence of Composite Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 7, no 04.3.7,‎ (lire en ligne).