Sous-suite

En mathématiques, une sous-suite (ou une suite extraite) est une suite obtenue en ne prenant que certains éléments (une infinité) d'une suite de départ. Cette opération est parfois appelée extraction.

Formellement, une suite est une application définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. On la note classiquement $(u_n)_{n\in \N}$. Une sous-suite ou suite extraite est la composée de u par une application strictement croissante $\varphi:\N\rightarrow \N$.

Elle s'écrit donc sous la forme $(u_{\varphi (n)})_{n\in \N}$. Dans ce contexte, l'application $\varphi$ est appelée extractrice.

Propriétés

• Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite d'éléments d'un espace topologique X qui converge vers $l$, alors toute suite extraite de $(u_n)_{n\in \N}$ converge vers $l$.
• Les limites des sous-suites convergentes d'une suite $(u_n)_{n\in \N}$ d'un espace topologique X sont des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)_{n\in \N}$. Si X est métrisable, ou plus généralement à base dénombrable de voisinages, la réciproque est vraie : toute valeur d'adhérence d'une suite est limite d'une de ses sous-suites.
• De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente (voir l'article sur le Théorème de Bolzano-Weierstrass pour plus de détails ; l'une des démonstrations utilise le lemme suivant).
• Lemme des pics — Toute suite à valeurs dans un ensemble totalement ordonné possède une sous-suite monotone (au sens large).

Démonstration

Soit (x_n) une telle suite. Voyons les entiers n comme des individus situés à une hauteur x_n, alignés les uns derrière les autres d'ouest en est et éclairés par le soleil levant (cette image est la version discrète de celle utilisée dans le lemme du soleil levant).

On dit que n est « éclairé » si, quel que soit p > n, x_n > x_p. (L'individu n est plus haut que tous ceux qui viennent après lui.)

On dit que n est « dans l'ombre » s'il existe p > n, x_p ≥ x_n. (Il existe un individu d'indice p supérieur à n et situé plus haut que lui.)

Il y a alors deux cas :

1. ou bien il y a une infinité d'individus éclairés. Dans ce cas, les x_n correspondants forment une sous-suite décroissante (strictement).
2. ou bien il n'y a qu'un nombre fini d'individus éclairés. Se plaçant au-delà de ce nombre fini, tous les autres individus sont dans l'ombre. On en choisit un d'indice p₀. Il existe un indice p₁ > p₀ tel que x_p1 ≥ x_p0 puis p₂ > p₁ tel que x_p2 ≥ x_p1, etc. On définit ainsi une sous-suite croissante (au sens large).

Remarque : la démonstration ne donne pas de construction explicite de la sous-suite. En effet, pour une suite quelconque, on est en général incapable de décider laquelle des deux affirmations 1) ou 2) est vérifiée. L'existence de la sous-suite est donc purement formelle. Il existe évidemment des cas particuliers où l'on peut construire explicitement une telle sous-suite.

Exemples dans ℝ :

• la suite (–1)ⁿ possède deux sous-suites constantes (donc monotones) : la sous-suite (x_2n) des termes de rangs pairs, constamment égale à 1 et la sous-suite (x_2n+1) des termes de rangs impairs, constamment égale à –1 ;
• on peut ne pas être capable d'expliciter une telle sous-suite. Par exemple, il existe des entiers n₁, n₂, ..., n_k, ... strictement croissants tels que sin(n_k) soit monotone, mais on n'en possède pas d'expression.