Nombre d'Eisenstein premier

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En mathématiques, un nombre d'Eisenstein premier ou nombre premier d'Eisenstein est un entier d'Eisenstein a \,\omega + b\, qui est un irréductible (ou de manière équivalente premier) dans le sens de la théorie des anneaux :

ses seuls diviseurs d'Eisenstein sont les unités : {1, 1+\omega\,, \omega\,, -1, -1-\omega\,, -\omega\,}, et a \,\omega + b\, lui-même et ses unités multiples.

Ici, \omega\, est la racine de l'unité cubique complexe \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}

Les nombres d'Eisenstein premiers ont été nommés en l'honneur du mathématicien Gotthold Eisenstein.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les nombres d'Eisenstein premiers sont précisément des entiers d'Eisenstein \alpha\, qui remplissent une des conditions suivantes :

  1. \alpha\, est égal au produit d'une unité et de 1-\omega\,,
  2. \alpha\, a pour norme un nombre premier congru à 1 modulo 3,
  3. \alpha\, est le produit d'une unité et d'un entier naturel premier congru à 2 modulo 3.

Liste de nombres d'Eisenstein premiers[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres d'Eisenstein premiers, qui sont égaux à un nombre premier naturel de type « 3.n - 1 », sont (voir suite A003627 de l'OEIS) :

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, etc.

Certains nombres d'Eisenstein premiers, au sens large, sont non réels : 2+\omega\,, 3+\omega\,, 4+\omega\,, 5+2\,\omega\,, 6+\omega\,, 7+\omega\,, 7+3\,\omega\,

Le conjugué complexe de n'importe quel nombre d'Eisenstein premier est un autre nombre d'Eisenstein premier ; en multipliant un nombre d'Eisenstein premier par n'importe laquelle de ses unités, on obtient encore un nombre d'Eisenstein premier. Les nombres premiers listés ci-dessus, ensemble avec 2 et 5, sont tous des nombres d'Eisenstein premiers de module ne dépassant pas 7.

Depuis 2007, le plus grand nombre d'Eisenstein premier (réel) connu est 19 249 \cdot 2^{13 018 586} + 1, découvert par Konstantin Agafonov[Ref 1]. C'est actuellement (en 2012) le dixième plus grand nombre premier connu[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Les neuf premiers nombres premiers plus grands sont des nombres premiers de Mersenne découverts par GIMPS.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en)primes.utm.edu Chris Caldwell, "The Top Twenty: Largest Known Primes" from The Prime Pages. Retrieved 2010-03-12.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]