Anneau principal

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Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, ab = ba. Il est dit intègre lorsqu'il est commutatif, a au moins deux éléments et vérifie la condition suivante : pour tous éléments a et b de A tels que ab soit nul, un au moins des éléments a et b est nul. Cette propriété a pour conséquence que tout élément non nul de A est simplifiable, c'est-à-dire que si a est un élément non nul de A, si b et c sont deux éléments de A tels que ab = ac (resp. ba = ca), alors b est égal à c. La simplification utilisée pour les calculs sur les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe est donc toujours valable. Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau intègre.

Un idéal J est un sous-groupe additif de A stable par multiplication par n'importe quel élément a de A, ainsi si j est élément de J, aj l'est aussi, ou encore aJ est inclus dans J.

  • Un idéal J de l'anneau A est dit principal s'il est composé des multiples d'un élément donné de l'anneau, autrement dit s'il existe un élément a de A tel que J est égal à aA.
  • Un anneau est dit quasi-principal si tous ses idéaux sont principaux[1] ; il est dit principal s'il est quasi-principal et intègre[2].

Exemples et contre exemples[modifier | modifier le code]

Corps commutatifs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Corps commutatif.

Tout corps commutatif K est un anneau trivialement principal. En effet, ses deux seuls idéaux sont {0} (engendré par 0) et K (engendré par 1).

Anneaux euclidiens[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Anneau euclidien.

Un anneau euclidien est un anneau disposant d'une division euclidienne. Un tel anneau est toujours principal (cf. l'article détaillé). Des exemples de cette nature sont donnés par l'anneau ℤ des entiers relatifs ou encore l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps K, par exemple celui des rationnels, des réels ou des complexes.

Tous les anneaux principaux ne sont pas euclidiens :

  • Dans le corps des complexes, le sous-anneau ℤ[ω], où ω = (1 + i19)/2, est principal mais pas euclidien[3].

Certains anneaux d'entiers de corps de nombres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Entier quadratique.

Un corps de nombres est un sous-corps K du corps ℂ des complexes, de dimension finie en tant qu'espace vectoriel sur le sous-corps ℚ des rationnels. L'anneau de ses entiers algébriques est constitué des éléments de K dont le polynôme minimal est à coefficients dans l'anneau ℤ des entiers relatifs.

Si le corps est quadratique, c'est-à-dire si tout élément s'exprime comme une combinaison linéaire à coefficients rationnels de 1 et d'une racine carrée d'un entier sans facteur carré d, l'anneau associé peut être principal. C'est le cas par exemple pour d = –1 (entiers de Gauss), d = –3 (entiers d'Eisenstein) ou d = 5.

Les anneaux principaux de cette nature sont relativement rares. Les neuf qui ne sont pas inclus dans l'ensemble ℝ des réels sont donnés par le théorème de Stark-Heegner. La question de savoir s'il existe une infinité de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers soit principal est encore ouverte.

En théorie des nombres, un autre type d'anneaux principaux est celui des anneaux de valuation discrète. Ce type d'anneau est un cas particulier d'anneau local, c'est-à-dire d'anneau n'ayant qu'un unique idéal maximal. Si un anneau est de Dedekind alors son localisé en un idéal premier est un anneau local et principal.

Exemple issu de l'analyse[modifier | modifier le code]

Les anneaux principaux ne se trouvent pas uniquement en algèbre, l'exemple suivant[4] est utilisé en analyse complexe :

Contre-exemples[modifier | modifier le code]

Les anneaux intègres non principaux sont nombreux.

Une première famille de contre-exemples est fournie par les anneaux de polynômes. Si A n'est pas un corps, l'anneau A[X] n'est pas principal. En effet, si a est un élément non nul et non inversible de A, l'idéal des polynômes ayant pour terme constant un multiple de a n'est pas principal. (En fait, A[X] n'est même pas de Bézout : cf. Division d'un polynôme, § Absence de division euclidienne.) L'anneau des polynômes A[X, Y] n'est jamais principal, même si A est un corps. Il suffit pour s'en rendre compte de considérer le plus petit idéal contenant les polynômes X et Y, un tel idéal n'est pas principal.

Les entiers algébriques fournissent des anneaux non principaux. L'anneau ℤ[i5] est un contre exemple étudié dans l'article Entier quadratique.

Tout idéal de l'anneau ℤ/6ℤ est principal, mais cet anneau n'est pas principal, faute d'intégrité.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Arithmétique[modifier | modifier le code]

L'arithmétique élémentaire sur l'anneau des entiers relatifs se fonde sur quelques théorèmes clés. À l'exception de la division euclidienne qui n'est pas définie dans un anneau principal quelconque, ces grands théorèmes s'appliquent encore dans ce contexte. Ils permettent de généraliser les raisonnements arithmétiques à tous les anneaux principaux.

Le théorème de Bachet-Bézout est encore vérifié :

  • Deux éléments a et b de A non tous deux nuls possèdent toujours un PGCD d, et il existe u et v éléments de A tels que au + bv = d.

Cette propriété résulte du fait que l'idéal engendré par a et b est principal et qu'un générateur de cet idéal est diviseur commun à a et b.

Ce théorème peut se reformuler : l'équation diophantienne ax + by = c admet des solutions si et seulement si c est un multiple du PGCD de a et de b.

La seule existence des PGCD (équivalente à celle des PPCM) a pour conséquence le lemme de Gauss :

  • Soient a, b et c trois éléments de A tels que a divise bc. Si a est premier avec b, alors a divise c.

En effet, si PGCD(a, b) = 1 et si a divise bc, alors a divise PGCD(ac, bc) = PGCD(a, bc = c.

Enfin, le théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié :

Un élément de l'anneau est dit irréductible si chacune de ses décompositions en produit de deux facteurs contient exactement un inversible. Ainsi dans ℤ, –2 est irréductible car toute décomposition en un produit de deux facteurs contient nécessairement 1 ou –1 comme facteur, et l'autre facteur (–2 ou 2) n'est pas inversible. La décomposition est essentiellement unique (en). Par exemple, 6 = 2 × 3 = (–3) × (–2) mais ces deux décompositions sont les mêmes, à l'ordre près et à un facteur inversible près.

Idéal[modifier | modifier le code]

  • Un élément a est premier si et seulement si A/aA est un corps.

Soit b un élément dont la classe dans l’anneau quotient est non nulle, alors b n'est pas élément de aA. Comme a est premier, il n'existe pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités. L'identité de Bézout, par passage aux classes montre que b est inversible. L'idéal aA est dit maximal, c'est-à-dire que les seuls idéaux contenant aA sont lui-même et A tout entier.

Réciproquement si A/aA est un corps, soit b un diviseur de a qui ne soit pas un élément inversible, alors il existe un élément c de l'anneau tel que bc = a et la classe de b est un diviseur de zéro. Le seul diviseur de zéro d'un corps est 0. Ceci montre que b est dans l'idéal aA et b est un multiple de a. L'élément b est à la fois un diviseur et un multiple de a, ceci montre que c est inversible. Ainsi, tout diviseur de a non inversible est égal à a, à un facteur inversible près, ce qui démontre que a est premier.

On remarque que si a est premier l'idéal est aussi premier (faire attention au fait que {0} est aussi un idéal premier, mais non maximal), on en déduit la proposition :

  • Les idéaux premiers non nuls de A sont les idéaux maximaux.

Propriétés noethériennes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : anneau noethérien.

Un anneau principal est noethérien, c'est-à-dire qu'il vérifie la propriété suivante :

  • Toute suite croissante d'idéaux est stationnaire.

En effet, si (Jn) est une suite croissante d'idéaux, l'union J de tous ces idéaux est un idéal (du fait que la suite est croissante). Soit a un générateur de J, il existe un entier N tel que JN contient a. On en déduit les inclusions suivantes :

\forall n \ge N \quad J \subset J_N \subset J_n \subset J.

Ces inclusions montrent qu'à partir du rang N, la suite est constante égale à J. Elle est donc stationnaire.

La noethérianité entraîne de nombreuses propriétés ; les deux suivantes sont vraies pour tous les anneaux commutatifs, mais imposent l'usage d'une forme plus élaborée de l'axiome du choix pour une démonstration du cas général :

  • Tout idéal distinct de l'anneau est inclus dans un idéal maximal.

En effet, si un idéal distinct de l'anneau n'est inclus dans aucun idéal maximal, il est possible de construire une suite croissante d'idéaux qui n'est pas stationnaire et l'anneau n'est pas noethérien (donc pas principal).

  • Un élément de A est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal.

En effet, un élément a de A est non inversible si et seulement si l'idéal aA est distinct de A c'est-à-dire, d'après la proposition précédente, si et seulement s'il est inclus dans un idéal maximal.

Anneau de Dedekind[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Anneau de Dedekind.

Il existe un type particulier d'anneaux noethériens important en théorie des nombres, les anneaux de Dedekind.

Un anneau de Dedekind est un anneau intègre noethérien A, dont tout idéal premier non nul est maximal, et tel que A est intégralement clos, c'est-à-dire que les seuls éléments du corps des fractions de A qui sont entiers sur A sont les éléments A. (Rappelons qu'un élément est entier sur A si et seulement s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A.)

  • Tout anneau principal est de Dedekind

Un anneau principal est donc à la fois factoriel et de Dedekind. La réciproque est vraie ; plus précisément :

  • Dans un anneau factoriel, si tout idéal premier non nul est maximal, alors tout idéal premier est principal[5] ;
  • Soit A un anneau commutatif dont tout idéal premier est principal, alors A est quasi-principal[6].

Module sur un anneau principal[modifier | modifier le code]

Un module sur un anneau est aux anneaux ce qu'un espace vectoriel est à un corps. Un module sur un anneau A intègre est un groupe abélien disposant d'une multiplication externe dotée des mêmes propriétés que celle d'un espace vectoriel.

La situation n'est pas la même que celle d'un espace vectoriel. Un module de type fini n'admet pas nécessairement une base. Par exemple, tout groupe abélien peut être vu comme un ℤ-module. Toute famille finie (gi) d'un groupe abélien fini G admet une relation linéaire non triviale : si e est l'exposant du groupe G, eg1 + eg2 + ... est égal à 0.

Dans le cas d'un anneau principal A, la configuration est proche de celle des espaces vectoriels :

  • Soit M un A-module libre de type fini et de rang m. Tout sous A-module de M admet une base de cardinal inférieur ou égal à m.

Un corollaire immédiat est le suivant :

  • Un module libre de type fini sur un anneau principal est noethérien.

Dans le cas d'un anneau euclidien, il existe un algorithme effectif permettant de déterminer une base. Il se trouve dans l'article Théorème des facteurs invariants.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Les anneaux principaux disposent de tous les théorèmes qui fondent l'arithmétique sur l'ensemble des entiers relatifs. En revanche, il existe de nombreux anneaux intègres qui ne sont pas principaux.

Géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Géométrie algébrique.

La géométrie algébrique étudie principalement les variétés algébriques, c'est-à-dire les hypersurfaces d'un espace vectoriel de dimension n sur un corps K définies comme les racines d'un idéal de l'anneau des polynômes à n indéterminées. Ainsi la sphère de R3 est définie comme les racines des polynômes à coefficients réels multiple de X2 + Y2 + Z2 – 1. Or l'anneau des polynômes à plusieurs variables n'est pas un anneau principal.

Un anneau factoriel est par définition un anneau où un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié. Le lemme d'Euclide est vrai dans un tel anneau, ce n'est en revanche pas le cas du théorème de Bachet-Bézout, qui caractérise[8] en fait les anneaux principaux parmi les anneaux factoriels. Les anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans un corps sont par exemple factoriels mais pas principaux.

Théorie algébrique des nombres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorie algébrique des nombres.

La solution utilisée pour les anneaux de polynômes n'est pas toujours pertinente. Les anneaux d'entiers algébriques, par exemple, ne sont pas toujours factoriels. Une autre approche permet néanmoins de retrouver une arithmétique analogue.

L'anneau OK des entiers algébriques d'un corps de nombres K n'est en général pas principal. En revanche, tout idéal est de type fini, c'est-à-dire engendré par une famille finie d'éléments : on dit que OK est un anneau noethérien (la théorie des anneaux noethériens dépasse celle de l'algèbre commutative, contexte des anneaux principaux). Plus précisément, tout idéal non nul de OK est un sous-OK-module libre de rang égal au degré [K:ℚ] de l'extension.

De plus, OK est intégralement clos ; c'est même un anneau de Dedekind. Ces propriétés permettent d'établir une arithmétique encore analogue à celle des entiers relatifs. Les nombres premiers sont remplacés par les idéaux premiers et tout idéal admet une unique décomposition en idéaux premiers, résultat qui remplace le théorème fondamental de l'arithmétique perdu pour cette configuration.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Springer,‎ 2006 (ISBN 3540343989), chap. 7, §1, exercice 6.
  2. Bourbaki 2006, VII.1.1.
  3. Cet exemple est développé p. 53-55 dans Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]. Pour une démonstration bien plus élémentaire, voir l'article Norme de Dedekind-Hasse.
  4. Cet exemple est tiré des p. 81 et 83 de Algèbre commutative par A. Chambert-Loir, université de Rennes I.
  5. (en) Paolo Aluffi, Algebra, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 104),‎ 2009 (ISBN 978-0-82184781-7, lire en ligne), p. 267.
  6. (en) M. Scott Osborne, Basic Homological Algebra, Springer, coll. « GTM » (no 196),‎ 2000 (ISBN 978-0-38798934-1, lire en ligne), p. 343.
  7. La démonstration qui suit est donnée par A. Ducros (université de Rennes I), p. 1-2 de « Modules de type fini sur un anneau principal » .
  8. Cette caractérisation est énoncée dans l'exercice 6 du chapitre 2 du Cours d'algèbre de Perrin, p. 61, avec la précision que l'hypothèse de noethérianité n'est pas nécessaire. Voir aussi l'article Anneau de Bézout.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]