Conjugué

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En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe $z$ est le nombre complexe formé de la même partie réelle que $z$ mais de partie imaginaire opposée.

Définition

Le conjugué d'un nombre complexe $z = a + bi\,$, où a et b sont réels, est noté $\bar z = a - bi\,$ (lu « z barre ») ou parfois $z^*\,$, notation recommandée par la norme ISO 31-11.

Dans le plan, le point d'affixe $\bar z$ est le symétrique du point d'affixe $z\,$ par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

$\begin{array}{r|ccc} c:& \mathbb{C} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \longmapsto & \overline{z} \end{array}$

La conjugaison est une opération linéaire qui est de plus continue. C'est de plus un automorphisme de corps de $\mathbb{C}$ dans lui-même.

Propriétés

On prend $(z,w)\in \mathbb{C} ^2$.

• $\overline{z+w} = \bar z + \bar w$
• $\overline{zw} = \bar z \times \bar w$
• $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar z}{\bar w}$ si $w\,$ est non nul
• si $\operatorname{Im}\left(z\right) = 0$ alors $\bar z = z$
• $\left|\bar z\right| = \left|z\right|$
• $z \overline{z} = \left|z\right|^2$
• $z^{-1} = {\overline{z} \over {\left|z\right|^2}}$ pour z non-nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion $q = a + bi + cj + dk\,$ est $q^* = a - bi - cj - dk\,$.

Propriété

• $q\cdot q^* = a^2+b^2+c^2+d^2\,$

• $\frac{1}{q} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\cdot q^*\,$

• On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leur éléments. Elle permet de former des espace vectoriel conjugué.