Conjecture d'Elliott-Halberstam

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En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter D. T. A. Elliott (en) et Heini Halberstam (en).

Notations[modifier | modifier le code]

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier strictement positif et a est premier avec q, notons π(x; q, a) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque a est premier avec q, on a :

 \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}.

On définit alors la fonction d'erreur

 E(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|

où le max est pris sur tous les a premiers avec q.

Énoncé[modifier | modifier le code]

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C telle que pour tout x ≥ 2,

 \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \le C\frac x {(\ln x)^A}.

Avancées[modifier | modifier le code]

Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion est fausse.

Pour les θ < 1/2, la conjecture a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri et Askold Ivanovich Vinogradov[réf. nécessaire] : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat récent de Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım[1],[2],[3], qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. Texte en accès libre sur arXiv : math.NT/0508185.
  2. (en) D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur arXiv:math.NT/0505300 (en)
  3. (en) D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. Texte en accès libre sur arXiv : math.NT/0506067.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliott–Halberstam conjecture » (voir la liste des auteurs)
  • (en) E. Bombieri, « On the large sieve », Mathematika, vol. 12,‎ 1965, p. 201-225
  • (en) P. D. T. A. Elliot et H. Halberstam, « A conjecture in prime number theory », Symp. Math., vol. 4,‎ 1968-1969, p. 59-72
  • (en)/(ru) A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934

Voir aussi[modifier | modifier le code]