Théorème de Bombieri-Vinogradov

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En mathématiques, le théorème de Bombieri-Vinogradov est un résultat majeur de la théorie analytique des nombres, obtenu dans le milieu des années 1960. Il fut nommé ainsi en l'honneur de Enrico Bombieri et Askold Ivanovich Vinogradov[1],[2], qui publièrent sur un sujet lié, l'hypothèse de densité, en 1965.

Ce résultat est une application majeure de la méthode du grand crible (en), qui se développa rapidement dans le début des années 1960, à partir du travail de Yuri Linnik (en) deux décennies plus tôt. Outre Bombieri[3], Klaus Roth a travaillé dans ce domaine.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit A un nombre réel positif quelconque. Alors

\sum_{q\leq Q}\max_{y\le x}\max_{1\le a\le q\atop (a,q)=1}\left|\psi(y;q,a)-{y\over\varphi(q)}\right|=o\left(x^{1/2}Q(\log x)^5\right)\,

si

x^{1/2}\log^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}\,.

Ici, \varphi(q)\, est l'indicatrice d'Euler, qui est le nombre de termes pour le module q, et

\psi(x;q,a)=\sum_{n\le x\atop n\equiv a\mod q}\Lambda(n)\,

\Lambda désigne la fonction de von Mangoldt.

Une description informelle de ce résultat est qu'il concerne le terme d'erreur dans le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, pris en moyenne sur les modules q variant jusqu'à Q. Pour un certain intervalle de valeurs de Q, qui vaut environ \sqrt{x}\, si nous négligeons les facteurs logarithmiques, l'erreur moyenne est presque aussi petite que \sqrt{x}\,. Ceci n'est pas vraiment évident, et sans faire la moyenne, c'est environ de la force de l'hypothèse de Riemann généralisée.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bombieri–Vinogradov theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. Ne pas confondre avec Ivan Vinogradov.
  2. A.I. Vinogradov. The density hypothesis for Dirichlet L-series. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 29 (1965), p. 903-934 ; Corrigendum. ibid. 30 (1966), p. 719-720. (Russian)
  3. E. Bombieri, Le Grand Crible dans la Théorie Analytique des Nombres, 2e éd., Astérisque 18, Paris, 1987

Voir aussi[modifier | modifier le code]