Primorielle

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La primorielle d'un nombre entier n, notée n# ou P(n), est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210 est une primorielle. Ces nombres furent nommés ainsi par Harvey Dubner.

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration de l'infinité des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier p donné : tout diviseur premier de P(p)+1 est en effet plus grand que p. Il est possible que P(p)+1 lui-même soit premier, c'est alors un nombre premier primoriel.

Tout nombre hautement composé est un produit de primorielles (exemple 360 = 2 × 6 × 30).

Progressions arithmétiques et primorielles[modifier | modifier le code]

Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche des nombres premiers en progression arithmétique[1].

Par exemple 14 933 623 + k P(13) est un nombre premier pour k = 0, 1, ..., 12, ce qui donne une suite de 13 nombres premiers en progression arithmétique de raison P(13).

Premières primorielles[modifier | modifier le code]

Voici les premières primorielles, sous forme de liste et de représentation graphique[2].

Les progressions comparées de n! (en jaune) et P(n) (en rouge), à échelle logarithmique
p P(p)
2 2
3 6
5 30
7 210
11 2 310
13 30 030
17 510 510
19 9 699 690
23 223 092 870
29 6 469 693 230
31 200 560 490 130
37 7 420 738 134 810

Évaluation asymptotique[modifier | modifier le code]

Erdös a montré élémentairement en 1932 que n\# \leq 4^n , mais le théorème des nombres premiers permet d'avoir l'évaluation : n\# =e^{n+o(n)}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Primes in Arithmetic Progression Records Consulté le 28/06/2014
  2. Pour une liste plus longue, voir la suite suite A034386 de l'OEIS.

Voir aussi[modifier | modifier le code]