Primorielle

La primorielle d'un nombre entier n, notée n# ou P(n), est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210 est une primorielle. Ces nombres furent nommés ainsi par Harvey Dubner.

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier p donné : tout diviseur premier de P(p)+1 est en effet plus grand que p. Il est possible que P(p)+1 lui-même soit premier, c'est alors un nombre premier primoriel.

Tout nombre hautement composé est un produit de primorielles (exemple 360 = 2 × 6 × 30).

Progressions arithmétiques et primorielles

Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche des nombres premiers en progression arithmétique.

Par exemple 14 933 623 + k P(13) est un nombre premier pour k = 0, 1, ..., 12, ce qui donne une suite de 13 nombres premiers en progression arithmétique de raison P(13).

Premières primorielles

Voici les premières primorielles, sous forme de liste et de représentation graphique.

Les progressions comparées de n! (en jaune) et P(n) (en rouge), à échelle logarithmique

p	P(p)
2	2
3	6
5	30
7	210
11	2 310
13	30 030
17	510 510
19	9 699 690
23	223 092 870
29	6 469 693 230
31	200 560 490 130
37	7 420 738 134 810

Évaluation asymptotique

Erdös a montré élémentairement en 1932 que $n\# \leq 4^n$, mais le théorème des nombres premiers permet d'avoir l'évaluation : $n\# =e^{n+o(n)}$.

Voir aussi

• Nombre premier primoriel