Constante de Mills

En mathématiques, la constante de Mills est définie comme étant le plus petit nombre réel A tel que la partie entière de A³ⁿ soit un nombre premier, pour tout entier n strictement positif. Sous l'hypothèse de Riemann,

$A=1{,}30637788386\ldots$.

Théorème de Mills

Il existe un nombre réel A, la constante de Mills, tel que, pour tout entier n > 0, la partie entière de A³ⁿ soit un nombre premier.

Ce théorème a été démontré en 1947 par le mathématicien William H. Mills ; par la suite, plusieurs mathématiciens ont calculé le plus petit A convenable en supposant qu’il y a toujours un nombre premier entre deux cubes consécutifs, ce qui est une conséquence de l'hypothèse de Riemann.

Nombres premiers de Mills

Les nombres premiers générés par la constante de Mills sont appelés les nombres premiers de Mills. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, cette suite (f_n) est :

2, 11, 1 361, 2 521 008 887, etc. (suite A051254 de l'OEIS),

ou encore : f_n+1 = f_n³ + b_n où la suite (b_n) est :

3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3 636, 70 756, 97 220, 66 768, 300 840, etc. (suite  A108739).

Plancher et plafond

Une analogue de la formule de Mills peut être obtenue en remplaçant la fonction plancher par la fonction plafond. En effet, Tóth a montré en 2017 que la fonction définie par

$\lceil A^{r^{n}}\rceil$

est également génératrice de nombres premiers pour $r>2.106\ldots$. Pour le cas $r=3$, la valeur de la constante $A$ commence par 1.24055470525201424067... Les nombres premiers générés sont alors:

$2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots$

Voir aussi

Article connexe

Formules pour les nombres premiers

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Mills' Constant », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Mills' Prime », sur MathWorld