Limite projective

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En mathématiques, formalisée dans le langage des catégories, la limite projective est une généralisation du produit. Cette notion est duale de celle de limite inductive.

Limite projective d'ensembles[modifier | modifier le code]

Soient (I,\leq) un ensemble ordonné[1], (E_i)_{i\in I} une famille d'ensembles indexée par I, et pour chaque couple (i,j)\in I^2 tel que i\leq j, une application f_i^j : E_j\to E_i. On suppose que ces applications vérifient les deux propriétés suivantes :

  • \forall i\in I, f_i^i = Id_ {E_i} ;
  • \forall (i,j,k)\in I^3,\ i\leq j\leq k \Rightarrow f_i^j\circ f_j^k = f_i^k.

Une telle structure est appelée système projectif d'ensembles. On appelle limite projective de ce système, et on note \varprojlim E_i, l'ensemble :

\Big\{(a_i) \in \prod_{i\in I}E_i \;\Big|\;  \forall i \leq j, \,\,  a_i = f_i^j(a_j) \Big\}.

Système projectif[modifier | modifier le code]

La définition précédente d'un système projectif d'ensembles se généralise de la catégorie des ensembles à n'importe quelle catégorie C : soit (I,\leq) un ensemble ordonné. On appelle système projectif d'objets de C indexé par I la donnée d'une famille (E_i)_{i\in I} d'objets de C et de morphismes f_i^j : E_j\to E_i pour chaque couple d'indices (i,j)\in I^2 tel que i\leq j, le tout vérifiant :

  • \forall i\in I, f_i^i = Id_ {E_i} ;
  • \forall (i,j,k)\in I^3,\ i\leq j\leq k \Rightarrow f_i^j\circ f_j^k = f_i^k.

Propriété universelle de la limite projective[modifier | modifier le code]

Soit (Xi, fij) un système projectif dans une catégorie C. Une limite projective des Xi suivant les morphismes fij, ou, par abus de langage, une limite des Xi suivant I, ou encore tout simplement une limite projective des Xi, est, lorsqu'elle existe, un objet X de la catégorie C muni de flèches πi de X à valeurs dans Xi vérifiant les relations de compatibilité πi = fij ∘ πj pour tous ij. De plus, la donnée (X, πi) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψi vérifiant des compatibilités analogues, il existe une unique flèche u : YX telle que le diagramme :

InverseLimit-01.png

soit commutatif pour tous ij.

Autrement dit, la limite projective représente le foncteur qui à un objet Y de la catégorie C associe l'ensemble \varprojlim Hom(Y,X_i).

Lorsqu'elle existe, la limite projective est unique, à isomorphisme (unique) près. On parle donc couramment de la limite projective.

La limite projective est notée : X = \varprojlim X_i.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si l'ordre sur I est l'égalité, un système projectif indexé par I est simplement une famille d'objets de la catégorie, et sa limite projective n'est autre que son produit.
  • En particulier, la limite projective du système indexé par l'ensemble vide est l'objet final.
  • Soit I un ensemble ordonné et \ (E_{i})_{i \in I} une famille d'ensembles décroissante pour l'inclusion. Pour i \leq j dans I, désignons par \ f_{ij} l'inclusion \ x \mapsto x de \ E_{j} dans \ E_{i}. Cela définit un système projectif d'ensembles. Supposons I filtrant à gauche ou à droite, ce qui est le cas, par exemple si I = ℕ. (Plus généralement, il suffit de supposer que deux éléments de I peuvent toujours être reliés par une séquence d'éléments de I où chaque élément est comparable au suivant.) Si, de plus, I n'est pas vide, la limite projective du système projectif en question est canoniquement équipotente à l'intersection des \ E_{i}. Plus précisément, l'intersection, munie de ses inclusions dans les \ E_{i}, est une limite projective du système.
  • Dans une catégorie, la limite inductive est la limite projective de la catégorie duale.

Limite projective de structures algébriques[modifier | modifier le code]

Dans la catégorie des magmas, des monoïdes, des groupes, des anneaux, des A-modules, des K-espaces vectoriels, on peut construire la limite de n'importe quel système projectif. (Dans celle des corps, pas toujours : il n'y a pas de produits.)

En effet, soient (I,\leq) un ensemble ordonné et (E_i,f_i^j) un système projectif indexé par I de magmas (ou de toute autre structure algébrique parmi la liste ci-dessus). Le produit cartésien \prod_{i\in I}E_i peut être muni de la structure de produit direct pour laquelle les projections canoniques sont des morphismes. De plus la limite projective ensembliste est stable pour la loi produit (ou les diverses lois). Munie de cette (ou ces) loi(s), la limite projective ensembliste vérifie les axiomes de la structure algébrique en question, et la propriété universelle de la limite projective.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit p un nombre premier. Pour deux entiers naturels nm, l'inclusion p^m\Z\subset p^n\Z d'idéaux de l'anneau \Z induit un morphisme canonique f_n^m:\Z/p^m\Z\to\Z/p^n\Z. L'anneau des entiers p-adiques \Z_p est défini comme la limite du système projectif (\Z/p^n\Z,f_n^m) indexé par \N. Un entier p-adique est alors une suite (\overline{a_n})_{n\in\N} telle que \overline{a_n}\in\Z/p^n\Z et que, si n<m, a_n\equiv a_m\mod p^n.

Limite projective d'espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Soient (I,\leq) un ensemble ordonné filtrant et (E_i)_{i\in I} un système projectif d'espaces topologiques, les applications (f_i^j) étant donc continues.

Le produit cartésien \prod_{i\in I}E_i peut être muni de la topologie produit pour laquelle les projections canoniques sont continues. La topologie induite sur la limite projective ensembliste vérifie la propriété universelle de la limite projective.

Aspects fonctoriels[modifier | modifier le code]

La définition ci-dessus d'un système projectif indexé par I dans une catégorie C n'est qu'une explicitation de la définition d'un foncteur contravariant de I (vu comme une catégorie) dans C (ou encore : un foncteur covariant de la catégorie duale Iop – associée à l'ordre dual – dans C).

Un morphisme de systèmes projectifs est une transformation naturelle entre deux tels foncteurs. Plus explicitement, un morphisme de (E_i,f_i^j) vers (F_i,g_i^j) est une famille (indexée elle aussi par I) de morphismes h_i:E_i\to F_i telle que pour tous j\ge i dans I, les deux morphismes (de E_j dans F_i) h_i\circ f_i^j et g_i^j\circ h_j soient égaux.

Ceci définit la catégorie C^{I^{op}} des systèmes projectifs indexés par I dans C (on dispose ainsi de la notion d'isomorphisme de tels systèmes).

À tout morphisme entre deux tels systèmes on associe alors canoniquement un morphisme entre leurs limites projectives, ce qui fait de la limite projective (lorsqu'elle est définie) un foncteur covariant de C^{I^{op}} dans C. En particulier, deux systèmes isomorphes ont des limites isomorphes.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Dans une catégorie quelconque, pour que les limites projectives existent, il suffit que le produit existe et les égalisateurs des doubles flèches existent.

Equalizer-01.png

Dans une catégorie C, étant données deux flèches f:X\to Y et g:X\to Y, on appelle égalisateur de la double flèche (f,g), un objet E muni d'une flèche eq:E\to X tel que toute flèche m:O\to X pour laquelle f\circ h = g\circ h soit de la forme m=eq\circ u pour une unique flèche u:O\to E. Dans une catégorie abélienne, l'égalisateur de deux flèches est simplement le noyau de leur différence.

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. Certains auteurs définissent la limite projective uniquement lorsque I est un ensemble ordonné filtrant (à droite) ; c'est le cas par exemple de Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions], Cassini, 2005, déf. 2.5.7 et 2.5.8, p. 42. N. Bourbaki, Éléments de mathématique n'impose pas cette restriction pour les limites projectives d'ensembles (E III.51 §7) d'espaces topologiques (TG I.28 § 4) ou de structures algébriques (A I.112 §10), mais seulement pour les limites inductives.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse limit » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi[modifier | modifier le code]