Espace complet

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En mathématiques, un espace métrique M est dit complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.

Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque 2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.

La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Soit l'espace ℚ des nombres rationnels muni de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|. Cet espace n'est pas complet. En effet, considérons la suite définie par :
    x_0=2\qquad\text{et}\qquad x_{n+1} = {x_n \over 2} + {1 \over x_n}.
    C'est une suite de Cauchy de nombres rationnels mais elle ne converge vers aucune limite appartenant à ℚ. En fait elle converge vers la racine carrée de 2, qui est un nombre irrationnel.
  • L'intervalle ouvert ]0, 1[ muni de la distance usuelle n'est pas complet non plus : la suite (1/2, 1/3, 1/4…) est de Cauchy mais elle n'a pas de limite dans l'intervalle.
  • L'intervalle réel fermé [0, 1] muni de la distance usuelle est complet.
  • L'espace ℝ des nombres réels et l'espace ℂ des nombres complexes, munis de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|, sont complets ainsi que l'espace euclidienn muni de la norme usuelle.

Quelques théorèmes[modifier | modifier le code]

Complété d'un espace métrique[modifier | modifier le code]

Pour tout espace métrique M, il est possible de construire un espace métrique complet (également noté \scriptstyle\hat M) qui contient M comme sous-espace dense. Un tel possède la propriété universelle suivante, qui le caractérise (à isomorphisme près d'espaces métriques complets contenant M) : toute fonction uniformément continue de M vers un espace métrique complet N possède un unique prolongement uniformément continu de vers N. L'espace est appelé le complété de M.

L'ensemble des nombres réels est le complété de l'ensemble des nombres rationnels, la valeur absolue usuelle étant utilisée comme distance.

Si cette procédure est appliquée à un espace vectoriel normé, on obtient un espace de Banach contenant l'espace original comme sous-espace dense. Appliquée à un espace préhilbertien, on obtient un espace de Hilbert.

Espace complètement métrisable[modifier | modifier le code]

La complétude est une propriété métrique, mais pas topologique, ce qui signifie qu'un espace métrique complet peut être homéomorphe à un espace qui ne l'est pas. Par exemple, pour la distance usuelle, l'espace des nombres réels est complet, bien qu'homéomorphe à l'intervalle ]–1, 1[ qui, lui, ne l'est pas – un exemple d'homéomorphisme est la bijection h de ]–1, 1[ dans ℝ définie par h(x) = tan(xπ/2) ; ou encore, le sous-espace des irrationnels n'est pas complet, alors qu'il est homéomorphe à l'espace de Baire ℕ, qui l'est.

Un espace topologique est dit complètement métrisable s'il existe une métrique complète induisant la topologie de cet espace. Une condition nécessaire pour cela[1] est qu'il soit complètement de Baire.

Tout espace uniforme complet qui est métrisable est complètement métrisable.

Un espace séparable complètement métrisable est appelé espace polonais.

Exemple : c'est le cas de l'espace ]–1, 1[ dont la topologie est induite par la distance usuelle, non complète, mais également par la distance complète d(x, y) = |h(y) – h(x)|, où h est n'importe quel homéomorphisme de ]–1, 1[ dans ℝ.

Espace quasi complet et espace semi-complet[modifier | modifier le code]

Un espace localement convexe E sur le corps des réels ou des complexes est dit quasi complet si tout filtre de Cauchy borné converge dans E.

Un espace uniforme est dit semi-complet s'il est séquentiellement complet, c'est-à-dire si toutes ses suites de Cauchy convergent.

Puisqu'une suite de Cauchy dans E est bornée dans E, si E est quasi complet, il est semi-complet.

Si un espace localement convexe est complet, il est quasi complet, mais la réciproque est inexacte. Par exemple, un espace de Banach réflexif de dimension infinie, muni de sa topologie affaiblie, est quasi complet mais non complet.

En revanche, si un espace localement convexe métrisable est quasi complet, il est complet.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Mais non suffisante, même pour un espace métrisable : (en) Vincent Kieftenbeld, Three Topics in Descriptive Set Theory, Denton, Texas, UNT,‎ 2010 (lire en ligne), p. 28, détaille l'exemple, dû à Hurewicz, du complémentaire dans ℝ d'un ensemble de Bernstein (en).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]