Développement en série de Engel

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Le développement en série de Engel d'un nombre réel positif y, moins connu que son développement en fraction continue mais étroitement lié, est son expression sous la forme (essentiellement unique (en))

y=\frac 1{a_1}+\frac 1{a_1a_2}+\frac 1{a_1a_2a_3}+\ldots\ ,

où les ak forment une suite croissante d'entiers strictement positifs. Il est utilisé en théorie des nombres et en théorie des probabilités.

Construction du développement[modifier | modifier le code]

Soit y un réel positif (strictement).

  • Il s'écrit de manière unique sous la forme

y = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_1a_2a_3}+ ... + \frac{1}{a_1a_2...a_n} + ...\ ,

où la suite (a_n)_{n\ge 1} est une suite infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs.

  • De plus, ces entiers s'obtiennent par l'algorithme suivant, dû à Henry Briggs : le symbole \lfloor\ \rfloor désignant la partie entière (par défaut), on pose

\left\{\begin{matrix} { a_1 = \lfloor\frac{1}{y}\rfloor + 1} \\ { y_1 = a_1y - 1 } \end{matrix} \right. \left\{\begin{matrix} { a_2 = \lfloor\frac{1}{y_1}\rfloor + 1} \\ { y_2 = a_2y_1 - 1 } \end{matrix} \right.\qquad 
... \qquad 
\left\{\begin{matrix} { a_{n+1} = \lfloor\frac{1}{y_n}\rfloor + 1} \\ { y_{n+1} = a_{n+1}y_n - 1\ . } \end{matrix} \right.

Une variante[modifier | modifier le code]

  • Le réel positif y s'écrit aussi de manière unique sous la forme

y = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1b_2} + \frac{1}{b_1b_2b_3}+ ... + \frac{1}{b_1b_2...b_n} + ...\ ,

où les bk forment une suite finie ou infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie stationnaire.

  • De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction \lceil\ \rceil, appelée partie entière par excès ou « fonction plafond » :

\left\{\begin{matrix} { b_1 = \lceil\frac{1}{y}\rceil} \\ { u_1 = b_1y - 1 } \end{matrix} \right. \left\{\begin{matrix} { b_2 = \lceil\frac{1}{u_1}\rceil} \\ { u_2 = b_2u_1 - 1 } \end{matrix} \right.\qquad 
... \qquad 
\left\{\begin{matrix} { b_{n+1} = \lceil\frac{1}{u_n}\rceil} \\ { u_{n+1} = b_{n+1}u_n - 1\ ,} \end{matrix} \right.

en convenant que si un un est nul, la suite d'entiers s'arrête à bn.

  • Le réel y est irrationnel si et seulement si la suite des bk est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident. Lorsque y est rationnel, la suite finie (b1, ... , bn) et la suite infinie stationnaire (a1, a2, ...) coïncident jusqu'au rang n -1, et pour tout kn, ak = bn +1.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Pour l'irrationnel e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\ , la suite d'entiers (infinie, non stationnaire) obtenue par l'une ou l'autre des deux méthodes est (1,1,2,3,4,…).
  • Pour le rationnel 1/2, la première suite d'entiers (infinie stationnaire) est (3,3,3,…) tandis que la seconde (finie) est (2) :
\sum_{k=1}^\infty\frac1{3^k}=\frac12\ .

Références[modifier | modifier le code]

  • (de) F. Engel, « Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen », dans Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg,‎ 1913, p. 190-191
  • (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4),‎ 2010 (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 14-15 (ou : Théorie des nombres, Dunod, 2007)
  • (en) Eric W. Weisstein, « Engel Expansion », MathWorld