Espace métrique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique. On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique.

L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.

La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle.

Définitions[modifier | modifier le code]

  • On appelle (E, d) un espace métrique si E est un ensemble et d une distance sur E.
  • On appelle distance sur un ensemble E, une application d de E2 dans ℝ+ telle que, pour tout x, y, z de E :
  • On appelle boule ouverte (resp. fermée) centrée en un point a de E et de rayon r (un élément de ℝ+), l'ensemble des points x situés à une distance de a strictement plus petite que r (resp. inférieure ou égale à r) :
    B(a,r)=\{x\in E\mid d(x,a)<r \},\quad B_f(a,r)=\left\{x\in E\,\mid\,d(x,a)\leq r\right\}.
  • On appelle ouvert de E, toute réunion de boules ouvertes.
    Une partie U de E est donc un ouvert si et seulement si, pour tout x de U, il existe une boule ouverte contenant x (donc de rayon non nul) et incluse dans U (une telle boule peut alors toujours être choisie centrée en x car B(x, s) est incluse dans B(a, r) dès que srd(x, a)). L'ensemble de ces ouverts constitue alors une topologie sur E — dite « topologie induite par la distance » d — dont une base est l'ensemble des boules ouvertes (en effet, si un point x appartient à l'intersection de deux boules ouvertes alors B(x, s) est incluse dans cette intersection pour s assez petit). Dans cette topologie, les voisinages d'un point sont tous les sous-ensembles contenant une boule ouverte contenant ce point.
  • Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie. La topologie usuelle sur la droite réelle, sur le plan, etc. sont des exemples de topologies métrisables. Les notions de boule, de partie bornée, de suite de Cauchy, de continuité uniforme, etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie.

Remarques[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Une norme N induit de manière naturelle une distance d(x,y) = N(x – y).
  • La distance triviale (ou encore distance discrète ou métrique discrète) est définie sur tout ensemble par : d(x, y) = 1 si x ≠ y et d(x, x) = 0. La topologie associée est la topologie discrète.
  • Les espaces topologiques ℝ et ]0, 1[ sont homéomorphes mais, munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple ℝ est complet mais ]0, 1[ ne l'est pas.
  • Si l'on munit ℝ+ de la distance d(x, y) = |ex – ey|, on retrouve la topologie usuelle sur ℝ+ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.
  • La distance aux échecs permet de connaître le nombre minimum de coups au jeu d'échecs pour aller avec le roi d'une case a = (xa, ya) à une case b = (xb, yb) et se définit par : d(a,b) = max(|xb – xa|, |yb – ya|).
  • La distance de Manhattan sur le plan ℝ2 : d(a,b) = |xb – xa| + |yb – ya|. C'est la distance induite par la norme 1.
  • La distance de Hamming est utilisée en théorie des codes correcteurs.

Produit d'espaces métriques[modifier | modifier le code]

Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques peut être muni d'une distance qui induit la structure uniforme produit et a fortiori la topologie produit : pour cela, si les (Ek,dk) (k∈ℕ) sont des espaces métriques, on peut par exemple munir E1×…×En de la distance dN définie par

d_N\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big)=N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big),

N est une norme ℓp arbitraire sur ℝn (ou toute autre norme croissante sur (ℝ+)n pour l'ordre produit) et munir E = ∏k∈ℕEk de la distance d définie par

d(x,y)=\sum_{k\in\N}\frac1{2^k}\frac{d_k(x_k,y_k)}{1+d_k(x_k,y_k)}.

On vérifie facilement que dN et d sont bien des distances sur les espaces correspondants et que la topologie définie par dN coïncide avec la topologie produit. Démontrons qu'il en est de même pour la distance d sur E (en examinant les calculs, on peut même remarquer que non seulement les deux topologies coïncident, mais aussi les deux structures uniformes dont elles sont issues).

En revanche, un produit non dénombrable d'espaces topologiques non grossiers n'est jamais métrisable, ni même séquentiel.

Équivalence d'espaces métriques[modifier | modifier le code]

En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver a minima la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.

Deux espaces métriques (M1, d1) et (M2, d2) sont dits :

  • topologiquement isomorphes (ou homéomorphes) s'il existe un homéomorphisme entre eux ;
  • uniformément isomorphes s'il existe entre eux une bijection uniformément continue dont la réciproque est uniformément continue.
  • Lipschtiz-équivalents s'il existe une bijection de l'un sur l'autre qui est lipschitzienne ainsi que son application réciproque.
  • isométriquement isomorphes s'il existe une isométrie bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M1M2 qui préserve les distances : d2(f(x), f(y)) = d1(x, y) pour tout x, y dans M1. Les isométries sont forcément injectives.
  • semblables s'il existe une constante positive k > 0 et une bijection f : M1M2, appelée similitude, telle que d2(f(x), f(y)) = k d1(x, y) pour tout x, y dans M1.
  • similaires s'il existe une bijection f : M1M2, appelée similarité, telle que d2(f(x), f(y)) = d2(f(u), f(v)) si et seulement si d1(x, y) = d1(u, v) pour tous x, y, u, v dans M1.[réf. souhaitée]

Deux espaces euclidiens similaires sont nécessairement homéomorphes, donc de même dimension et par conséquent isométriques.

Espaces métrisables[modifier | modifier le code]

Partant d'un espace topologique, on peut se demander s'il est métrisable. Plusieurs conditions suffisantes pour cela ont été trouvées.

  • La première réellement utile est due à Urysohn ; elle dit que tout espace régulier à base dénombrable est métrisable. (Cette forme de la condition a en fait été prouvée par Tychonov en 1926. Ce qu'Urysohn avait trouvé, dans un article publié en 1925, était que tout espace normal à base dénombrable est métrisable.) Par exemple, toute variété à base dénombrable est métrisable. Également un compact est métrisable si et seulement s'il est à base dénombrable.
  • Cette condition suffisante d'Urysohn (régularité + base dénombrable) a été transformée en une condition nécessaire et suffisante (régularité + base dénombrablement localement finie) par Bing, Nagata et Smirnov
  • Smirnov a aussi prouvé qu'un espace est métrisable si et seulement s'il est paracompact et localement métrisable (un espace est dit localement métrisable si chaque point a un voisinage métrisable). En particulier, une variété est métrisable si et seulement si elle est paracompacte.

Articles connexes[modifier | modifier le code]