Carré (algèbre)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Carré (homonymie).

Le carré d'un nombre est un autre nombre qui vaut le nombre initial multiplié par lui-même. De manière plus générale, tout être mathématique sur lequel il existe une multiplication possède un carré. Ainsi, on parle de carré d'une matrice ou encore d'une fonction.

La fonction carré désigne celle qui, à un nombre donné associe son carré. Cette fonction est paire, c'est-à-dire que l'image d'un nombre ou de son opposé est la même. Le carré de 4 ou de -4 est égal à 16. Le carré d'un nombre réel est toujours un nombre positif et, comme les nombres entiers ou même rationnels sont aussi des nombres réels, leurs carrés sont aussi positifs.

Tout nombre réel strictement positif est le carré d'exactement deux nombres, l'un strictement positif, l'autre strictement négatif, 0 est uniquement le carré de lui-même. Pour cette raison, il est possible de définir la fonction racine carrée, qui à un nombre réel positif, associe le seul nombre positif dont le carré est le nombre initial. La situation est un peu différente pour les nombres entiers, un entier positif n'est pas nécessairement le carré d'un autre nombre entier. La valeur 4 l'est, car 2² est égal à 4, mais 2 ne l'est pas. Un nombre entier qui est un carré d'un entier naturel est dit carré parfait.

Le terme de carré s'est imposé à une époque où la logique de l'algèbre géométrique était omniprésente. Un nombre était toujours positif et correspondait à la longueur d'un segment. Le carré de ce nombre était vu comme l'aire d'un carré de côté la longueur initiale.

Exemples :

  • 52 = 25
  • 12 = 1
  • 102 = 100
  • 100 = 10

Généralités sur le carré[modifier | modifier le code]

Quand on calcule le carré d'un nombre, on le multiplie par lui-même. Ainsi, les formes 122 et 12×12 sont équivalentes. Néanmoins, on préfère la forme 122 autant que possible pour sa clarté et sa concision. Un carré est toujours positif pour tout nombre réel.

Exemple : 122 = (–12)2 = 12 × 12 = –12 × (–12) = 144.

Attention ! –(122) et (–12)2 sont deux nombres différents. Le premier vaut –144 (on multiplie 12 par 12 puis par –1) et le deuxième 144 (le signe moins est englobé dans la parenthèse).

Le carré d'un nombre x est inférieur à ce dernier lorsque 0 \le x\leq 1.

La racine carrée[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Racine carrée.

Comme on peut élever un nombre au carré, on peut aussi faire l'opération inverse : il s'agit de la racine carrée d'un nombre.

Dans une racine carrée a, où a est un nombre réel positif, le symbole   est appelé radical, et le réel a est le radicande. On peut alors dire que la racine carrée d'un nombre positif est égale au nombre positif qui, élevé au carré, vaut le radicande.

Condition d'existence[modifier | modifier le code]

Une racine carrée ne peut exister dans l'ensemble des nombres réels que si le radicande est positif. Ainsi, a n'est possible dans l'ensemble des nombres réels que si a \ge 0. Par contre, il est tout à fait possible d'écrire –a, qui est alors égal à l'opposé du radicande.

Résoudre l'équation x2 = a dans l'ensemble des réels[modifier | modifier le code]

Premier cas : a < 0[modifier | modifier le code]

Lorsque a est strictement inférieur à 0, cela revient à dire que x2 est strictement négatif. Or, dans l'ensemble des réels, le carré d'un nombre n'est jamais strictement négatif. Donc : S=\varnothing.

Deuxième cas : a = 0[modifier | modifier le code]

Lorsque a vaut 0, une seule solution est possible : 0 (puisque zéro est à la fois positif et négatif). Donc : S = \left\{0\right\}.

Troisième cas : a > 0[modifier | modifier le code]

L'équation a deux solutions : S = \left\{-\sqrt a ; \sqrt a\right\}.

Remarque : résoudre \sqrt x = a.

Si a est strictement négatif, l'équation n'a pas de solution. Donc : S=\varnothing.

Par contre si a \ge 0 alors S=\{a^2\}.

Caractère[modifier | modifier le code]

En Unicode, le caractère est U+00B2 ² exposant deux (HTML : &#178; &sup2;).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Source principale de cet article : cours de mathématiques niveau 3ème / 2nde

Voir aussi[modifier | modifier le code]