Espace totalement discontinu

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En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace totalement discontinu est un espace topologique qui est « le moins connexe possible » au sens où il n'a pas de partie connexe non triviale. Dans tout espace topologique, l'ensemble vide et les singletons sont connexes ; dans un espace totalement discontinu, ce sont les seules parties connexes.

Un exemple populaire d'espace totalement discontinu est l'ensemble de Cantor. Un autre exemple, important en théorie algébrique des nombres, est le corps Qp des nombres p-adiques.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace topologique X est totalement discontinu si la composante connexe de tout point x de X est le singleton { x }.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les espaces suivants sont totalement discontinus :

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Les sous-espaces, espaces produits et coproduits d'espaces totalement discontinus sont totalement discontinus.
  • Un espace totalement discontinu est toujours T1, puisque ses singletons sont fermés.
  • Une image continue d'un espace totalement discontinu n'est pas nécessairement totalement discontinue (par exemple : tout compact métrisable est une image continue de l'espace de Cantor).
  • Tout espace localement compact totalement discontinu est de dimension 0.
  • Tout espace métrisable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace d'un produit dénombrable d'espaces discrets.
  • Pour tout espace topologique X, l'espace des composantes connexes de X est « le plus gros » quotient de X totalement discontinu, au sens où il est initial parmi de tels quotients.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) Keio Nagami, Dimension theory, Academic Press,‎ 1970 (ISBN 9780125136501), exemple 9.12 p. 54
  2. (en) P. Erdős, « The dimension of the rational points in Hilbert space », Annals of Math., 2e série, vol. 41,‎ 1940, p. 734-736 (lire en ligne)
  3. (en) Jan J. Dijkstra, « A criterion for Erdős spaces », Proc. Edinb. Math. Soc., 2e série, vol. 48, no 3,‎ 2005, p. 595–601 (lire en ligne)

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]