Forme quadratique

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En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en calculant la racine carrée d'une forme quadratique impliquant six variables qui sont les trois coordonnées de chacun des deux points.

Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données par les formules suivantes :

Q(x) = ax^2\,
Q(x,y) = ax^2 + by^2 + 2cxy\,
Q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz\,

L'archétype de forme quadratique est la forme x2 + y2 + z2 sur ℝ3 qui définit la structure euclidienne. C'est pourquoi la théorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la géométrie (orthogonalité). La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges.

Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques :

Généralités[modifier | modifier le code]

Notions de base[modifier | modifier le code]

On se place sur un espace vectoriel V sur un corps commutatif F de caractéristique différente de 2, par exemple ℝ ou ℂ.

Définition. Une forme quadratique sur V est une application Q : VF telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique B : V × VF telle que

\forall u\in V, Q(u)=B(u,u).

Commentaire. Si V = Fn, une forme quadratique est tout simplement un polynôme homogène de degré 2 à coefficients dans F.

La forme B s'appelle la forme bilinéaire associée à Q, ou encore la forme polaire de Q.

En raison de la bilinéarité, on a


B(u,v) = \frac{1}{2}\left(Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\right)

En effet, si u, v sont des vecteurs de V, Q(u + v) = Q(u) + 2B(u, v) + Q(v). (Pour trouver Q on a divisé par 2, c'est là qu'intervient l'hypothèse de caractéristique). Ainsi, Q et B se déterminent mutuellement.


Le passage de Q à B est un exemple de polarisation d'une forme algébrique. Il existe alors une correspondance bijective entre les formes quadratiques sur V et les formes bilinéaires symétriques sur V. À partir d'une forme donnée, nous pouvons définir de manière unique l'autre forme.

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit (e1, … , en) une base d'un espace vectoriel de dimension n, et soient (v1, … , vn) les coordonnées de vV dans cette base. Alors les applications vv12 et v ↦ 2v1v2 sont des formes quadratiques. Les formes bilinéaires associées sont respectivement (v, w) ↦ v1w1 et (v, w) ↦ v1w2 + v2w1.

Sur un espace euclidien, le carré de la norme est une forme quadratique, la forme bilinéaire associée n'est autre que le produit scalaire.

Quelques propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Pour tout scalaire a et tout vecteur u, Q(au) = a2Q(u).
  • Q obéit à la règle du parallélogramme : Q(u + v) + Q(u – v) = 2Q(u) + 2Q(v).
  • Les vecteurs u et v sont orthogonaux par rapport à B si et seulement si Q(u + v) = Q(u) + Q(v).
  • La somme de deux formes quadratiques, et plus généralement les combinaisons linéaires de formes quadratiques sont des formes quadratiques.

Expression matricielle[modifier | modifier le code]

Si V est de dimension n, et si \,(e_i)_{1\le i\le n} est une base de V, on associe à B la matrice symétrique B définie par \mathbf{B}_{ij}=B(e_i,e_j). La forme quadratique Q est alors donnée par Q(u) = \mathbf{^Tu} \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j où les \,u^i sont les coordonnées de u dans cette base, et u la matrice colonne formée par ces coordonnées. On dit que B est la matrice de Q par rapport à la base.

Q(u) est un polynôme homogène de degré deux par rapport aux coordonnées de u, conformément à notre définition de départ.

Soit (e^{\prime}_i)_{1\le i\le n} une autre base de V, et soit P la matrice de passage exprimant les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. De la relation u = Pu' on tire B' = TPBP pour la matrice de B dans la nouvelle base. On dit que B et B' sont congruentes.

Orthogonalité, isotropie, dégénérescence[modifier | modifier le code]

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Deux vecteurs x et y sont orthogonaux par rapport à Q si B(x, y) = 0.

Plus généralement, si W est un sous-espace vectoriel de V, l'orthogonal de W est le sous-espace


W^\perp = \{x\in V,\forall y\in W, B(x,y)= 0\}

Ces notions généralisent l'orthogonalité dans les espaces euclidiens, mais il y a quelques pièges. Par exemple sur F × F, pour la forme quadratique Q(x, y) = xy, chacun des sous-espaces F × {0} et {0} × F est son propre orthogonal.

Théorème. Pour toute forme quadratique sur un espace de dimension finie, il existe une base dont les éléments distincts sont deux à deux orthogonaux.

Radical, dégénérescence et rang[modifier | modifier le code]

Le noyau d'une forme quadratique Q (on dit aussi radical) est par définition l'orthogonal de l'espace V tout entier. Cet espace est le noyau de l'application linéaire de V dans l'espace dual V* qui associe à x la forme linéaire yB(x, y). Une forme quadratique est dite non dégénérée si rad(Q) = 0, autrement dit si l'application linéaire ci-dessus est injective.


Le rang de Q est par définition dim(V) – dim(rad(Q)).


Si F est un supplémentaire de rad(Q), la restriction de Q à F est non dégénérée, et Q donne par passage au quotient une forme quadratique non dégénérée sur V/rad(Q).



Si Q est non dégénérée,  \mathrm{dim}\,W +\mathrm{dim}\,W^\perp = \mathrm{dim}\,V , mais V n'est pas toujours la somme directe de W et de son orthogonal, comme la situation euclidienne pourrait le faire croire.

Le rang est égal au nombre r de vecteurs d'une base orthogonale  (e_i)_{1\le i\le n} tels que  Q(e_i)\not=0 . En effet, dans une telle base,


Q(v)=\sum_{i=1}^r c_iv_i^2\quad \mathrm{avec}\  c_i=Q(e_i)

Le radical est alors le sous-espace vectoriel engendré par les e_i pour i > r. On voit aussi que le rang de Q est le rang de sa matrice par rapport à une base quelconque.

Isotropie[modifier | modifier le code]

Un vecteur v non nul est dit isotrope si Q(v) = 0.

Un sous-espace vectoriel W de V est dit totalement isotrope si la restriction de Q à W est la forme nulle.

Exemple. Sur F2n, soit Q la forme quadratique donnée par


Q(v)=\sum_{i=1}^n v_iv_{i+n}

Le sous-espace \{v\in V\mid v_i=0\ \mathrm{si}\ 1\le i\le n\} est totalement isotrope. Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension[1]. Cette dimension s'appelle l'indice d'isotropie.

Exemples. Il est nul pour le carré de la norme euclidienne, et vaut n dans l'exemple précédent, ainsi que pour la forme quadratique sur ℂ2n donnée par


\sum_{i=1}^{2n} z_i^2
.

Plus généralement, l'indice d'isotropie d'une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel complexe est égal à [dimV]/2 (partie entière).

Classification des formes quadratiques[modifier | modifier le code]

On dira que deux formes quadratiques Q et Q' sont équivalentes (certains auteurs disent isométriques) s'il existe une application linéaire inversible \,\phi telle que \,Q^\prime=Q\circ\phi. Cela revient à dire que l'expression de Q' dans une base  (e_i)_{1\le i\le n} est identique (en tant que polynôme par rapport aux coordonnées) à celle de Q dans la base  \big(\phi(e_i)\big)_{1\le i\le n}. Cela équivaut aussi à dire que leurs matrices dans une même base sont congruentes.

Classer les formes quadratiques sur un espace vectoriel V, c'est :

  • déterminer les classes d'équivalence de la relation précédente (qui est clairement une relation d'équivalence) ;
  • ou, ce qui revient au même, déterminer les orbites de l'ensemble des formes quadratiques sous l'action du groupe linéaire
\,\mathrm{GL}(V) donnée par  (\phi,Q)\mapsto Q\circ\phi

(ce sont deux façons d'exprimer la même chose).

On a les résultats suivants.

  • Lorsque V est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps F algébriquement clos (de caractéristique différente de 2), deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.
    En effet, soit \sum_{i=1}^rc_ix_i^2,\, c_i\not=0 l'expression d'une forme quadratique de rang r dans une base orthogonale  (e_i)_{1\le i\le n}. Il existe pour tout i entre 1 et r un d_i\in F non nul tel que d_i^2=c_i,. En remplaçant e_i par \frac{1}{d_i}e_i (pour i entre 1 et r), on obtient une nouvelle base où la forme s'écrit \sum_{i=1}^r(x_i^\prime)^2.
  • Lorsque V est un espace vectoriel de dimension finie sur ℝ, deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang et même signature (loi d'inertie de Sylvester).
  • Si F est un corps fini de caractéristique différente de 2, toute forme quadratique non dégénérée sur Fn est équivalente à
    x_1^2+\ldots +x_{n-1}^2+x_n^2\quad \textrm{ou} \quad x_1^2+\ldots+ x_{n-1}^2+
ax_n^2
    a est un élément de F* qui n'est pas un carré. Sachant que F*/(F*)2 a deux éléments, cela montre qu'il y a exactement deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur Fn.

Deux formes quadratiques équivalentes ont même rang et même indice d'isotropie, mais la réciproque est loin d'être vraie en général.


Discriminant[modifier | modifier le code]

Généralités[modifier | modifier le code]

Soit Q une forme quadratique et B sa matrice par rapport à une base de V. Si l'on effectue un changement de base de matrice P (cf. § « Expression matricielle » ci-dessus), la matrice de Q dans la nouvelle base sera B' = TPBP. D'après les propriétés élémentaires des déterminants, \det{\rm B}^\prime=(\det P)^2\det{\rm B}. Si Q est non dégénérée, l'image du déterminant dans le groupe quotient F*/(F*)2 ne dépend pas de la base. C'est cet élément que l'on appelle le discriminant de la forme quadratique. Si Q est dégénérée, on convient que le discriminant est nul.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Corps des complexes
    Si F = ℂ, le quotient F*/(F*)2 est réduit à l'élément neutre, et le discriminant est sans intérêt.
  • Corps des réels
    Si F = ℝ, le quotient F*/(F*)2 s'identifie à {± 1}, vu comme sous-groupe multiplicatif de ℝ*. On peut donc parler de formes quadratiques à discriminant positif ou négatif. Par exemple, le discriminant de la forme quadratique ax2 + 2bxy + cy2 sur ℝ2, supposée non dégénérée, est donnée par le signe de ac – b2. S'il est positif, la forme est définie positive ou définie négative, s'il est négatif, la réduction de Gauss sera de la forme (ux + vy)2 – (u'x + v'y)2. On retrouve, ce qui n'est pas surprenant, la théorie de l'équation du second degré.
  • Corps finis
    Si p est un nombre premier impair, et F le corps Fp à p éléments, la théorie élémentaires des résidus quadratiques assure que F*/(F*)2 est encore isomorphe au groupe à deux éléments.
  • Corps des rationnels
    La décomposition d'un entier en facteurs premiers permet de voir que ℚ*/(ℚ*)2 est infini. Dès la dimension 1, il existe donc une infinité de formes quadratiques deux à deux non équivalentes.

Géométrie des formes quadratriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Witt (en).

Forme quadratique duale d'une forme quadratique de rang maximum[modifier | modifier le code]

Si Q est de rang maximum sur l'espace vectoriel V, la forme bilinéaire associée B définit un isomorphisme entre V et son dual V^\ast : à v\in V on associe la forme linéaire \phi_B(v) définie par


\forall w\in V, \phi_B(v)(w)= B(v,w)

. On définit alors une forme quadratique Q^\ast sur V^\ast

en posant


\forall \xi\in V^\ast, Q^\ast(\xi)= Q\big(\phi_B^{-1}(\xi)\big).

Si A est la matrice de Q par rapport à une base de V, la matrice de Q^\ast par rapport à la base duale de V^\ast est A^{-1}.

Application aux quadriques. Si l'on considère  Q(v)= comme l'équation d'une quadrique projective de l'espace projectif  P(V), la forme  Q^\ast donne l'équation tangentielle de la quadrique considérée.

Cas de corps de caractéristique deux[modifier | modifier le code]

La théorie des formes quadratiques de caractéristique 2 est légèrement différente, essentiellement parce que la division par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme Q(u) = B(u,u) pour une forme bilinéaire symétrique B. En outre, même si B existe, elle n'est pas unique : puisque les formes alternées sont aussi symétriques en caractéristique 2, on peut ajouter toute forme alternée à B et obtenir la même forme quadratique.

Une définition plus générale d'une forme quadratique qui marche pour toute caractéristique est la suivante.

Une forme quadratique sur un F-espace vectoriel V est une application Q : VF telle que

  • Q(au) = a2Q(u) pour tout scalaire a et tout vecteur u, et
  • Q(u + v) – Q(u) – Q(v) est une forme bilinéaire sur V.

Généralisations[modifier | modifier le code]

On peut généraliser la notion de forme quadratique à des modules sur un anneau commutatif. Les formes quadratiques entières sont importantes en théorie des nombres et en topologie.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. R. Goblot, Algèbre linéaire, Masson, Paris 1995, ch. 10, par. 4.

Articles connexes[modifier | modifier le code]