Forme quadratique

En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en calculant la racine carrée d'une forme quadratique impliquant six variables qui sont les trois coordonnées de chacun des deux points.

Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données par les formules suivantes :

$Q(x) = ax^2\,$

$Q(x,y) = ax^2 + by^2 + 2cxy\,$

$Q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz\,$

L'archétype de forme quadratique est la forme $\,x^2 + y^2 + z^2$ sur $\,\R^3$ qui définit la structure euclidienne. C'est pourquoi la théorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la géométrie (orthogonalité). La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges.

Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques :

• La classification des coniques et plus généralement des quadriques projectives équivaut essentiellement à celle des formes quadratiques sur l'espace vectoriel correspondant.
• Si $f:\R^n\to \R$ est une fonction de classe C², la partie d'ordre 2 de son développement de Taylor, disons en 0, définit une forme quadratique dont la représentation matricielle est, à un facteur 1/2 près, la matrice hessienne de f en 0. Si 0 est un point critique, cette forme, dans le cas où elle est non dégénérée, permet de décider si on a affaire à un point de maximum local, à un point de minimum local ou à un point selle.
• Les formes quadratiques interviennent en mécanique du solide (ellipsoïde d'inertie) et en statistiques (analyse en composantes principales).
• Les formes quadratiques interviennent pour la résolution d'équations diophantiennes, Joseph-Louis Lagrange les utilise pour la démonstration du théorème des deux carrés de Fermat.
• Elles interviennent aussi en Géométrie différentielle des surfaces, sous les noms de première et deuxième forme fondamentale.

Généralités

Notions de base

On se place sur un espace vectoriel V sur un corps commutatif F de caractéristique différente de 2, par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$

Définition. Une forme quadratique sur V est une application

$Q~:~V \to F$ telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique $B~:~V \times V \to F$ telle que

$\forall u\in V, Q(u)=B(u,u)$

Commentaire. Si $V = F^n$, une forme quadratique est tout simplement un polynôme homogène de degré 2 à coefficients dans F.

La forme B s'appelle la forme bilinéaire associée à Q, ou encore la forme polaire de Q.

En raison de la bilinéarité, on a

$B(u,v) = \frac{1}{2}\left(Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\right)$

En effet, si $\,u,v$ sont des vecteurs de V,

$Q(u + v) = Q(u) + 2B(u,v) + Q(v)\,$

(Pour trouver Q on a divisé par 2, c'est là qu'intervient l'hypothèse de caractéristique). Ainsi, Q et B se déterminent mutuellement.

Le passage de Q à B est un exemple de polarisation d'une forme algébrique. Il existe alors une correspondance bijective entre les formes quadratiques sur V et les formes bilinéaires symétriques sur V. À partir d'une forme donnée, nous pouvons définir de manière unique l'autre forme.

Exemples

Soit $(e_1,\cdots,e_n)$ une base d'un espace vectoriel de dimension n, et soient $(v_1,\cdots,v_n)$ les coordonnées de $v\in V$ dans cette base. Alors les applications $v\mapsto v_1^2$ et $v\mapsto 2v_1v_2$ sont des formes quadratiques. Les formes bilinéaires associées sont respectivement $(v,w) \mapsto v_1w_1$ et $(v,w) \mapsto v_1w_2+v_2w_1$

Sur un espace euclidien, le carré de la norme est une forme quadratique, la forme bilinéaire associée n'est autre que le produit scalaire.

Quelques propriétés élémentaires

• $Q(au) = a^2 Q(u)\,$ $\forall a \in F$ et $u \in V$
• Q obéit à la règle du parallélogramme :

$Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)\,$

• Les vecteurs u et v sont orthogonaux par rapport à B ssi

$Q(u+v) = Q(u) + Q(v)\,$

• la somme de deux formes quadratiques, et plus généralement les combinaisons linéaires

de formes quadratiques sont des formes quadratiques.

Expression matricielle

Si V est de dimension n, et si $\,(e_i)_{1\le i\le n}$ est une base de V, on associe à B la matrice symétrique B définie par $\mathbf{B}_{ij}=B(e_i,e_j)$ p. La forme quadratique Q est alors donnée par

$Q(u) = \mathbf{^Tu} \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j$

où les $\,u^i$ sont les coordonnées de u dans cette base, et u la matrice colonne formée par ces coordonnées. On dit que B est la matrice de Q par rapport à la base.

Q(u) est un polynôme homogène de degré deux par rapport aux coordonnées de u, conformément à notre définition de départ.

Soit $(e^{\prime}_i)_{1\le i\le n}$ une autre base de V, et soit $P$ la matrice de passage exprimant les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. De la relation $\,\mathbf{u}=P\mathbf{u^\prime}$ on tire $\mathbf{B^\prime}={}^TP\mathbf{B}P$ pour la matrice de B dans la nouvelle base. On dit que B et B' sont congruentes.

Orthogonalité, isotropie, dégénérescence

Orthogonalité

Deux vecteurs x et y sont orthogonaux par rapport à Q si $B(x,y)=0.$

Plus généralement, si W est un sous-espace vectoriel de V, l'orthogonal de W est le sous-espace

$W^\perp = \{x\in V,\forall y\in W, B(x,y)= 0\}$

Ces notions généralisent l'orthogonalité dans les espaces euclidiens, mais il y a quelques pièges. Par exemple sur $\,F\times F$, pour la forme quadratique $\,Q(x,y)=xy$ chacun des sous-espaces $F\times\{0\}$ et $\{0\}\times F$ est son propre orthogonal.

Théorème. Pour toute forme quadratique sur un espace de dimension finie, il existe une base dont les éléments distincts sont deux à deux orthogonaux.

Démonstration

Si Q est la forme nulle, n'importe quelle base convient. Sinon, il existe un vecteur v tel que $Q(v)\not=0$. La forme linéaire $x\mapsto B(x,v)$ est donc non nulle, son noyau $Fv^\perp$ est un hyperplan auquel on applique l'argument précédent.

Radical, dégénérescence et rang

Le noyau d'une forme quadratique Q (on dit aussi radical) est par définition l'orthogonal de l'espace V tout entier. Cet espace est le noyau de l'application linéaire de V dans l'espace dual V* qui associe à x la forme linéaire $y\mapsto B(x,y)$. Une forme quadratique est dite non dégénérée si rad(Q) = 0, autrement dit si l'application linéaire ci-dessus est un isomorphisme.

Le rang de Q est par définition dim V – dim(rad(Q)).

Si F est un supplémentaire de rad(Q), la restriction de Q à F est non dégénérée.

Si Q est non dégénérée, $\mathrm{dim}\,W +\mathrm{dim}\,W^\perp = \mathrm{dim}\,V$

Le rang est égal au nombre r de vecteurs d'une base orthogonale $(e_i)_{1\le i\le n}$ tels que $Q(e_i)\not=0$. En effet, dans une telle base,

$Q(v)=\sum_{i=1}^r c_iv_i^2\quad \mathrm{avec}\ c_i=Q(e_i)$

Le radical est alors le sous-espace vectoriel engendré par les $e_i$ pour i>r. On voit aussi que le rang de Q est le rang de sa matrice par rapport à une base quelconque.

Isotropie

Un vecteur v non nul est dit isotrope si $Q(v)=0$.

Un sous-espace vectoriel W de V est dit totalement isotrope si la restriction de Q à W est la forme nulle.

Exemple. Sur $F^{2n}$ soit Q la forme quadratique donnée par

$Q(v)=\sum_{i=1}^n v_iv_{i+n}$

Le sous-espace $\{v\in V, v_i=0\ \mathrm{si}\ 1\le i\le n\}$ est totalement isotrope. Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension. Cette dimension s'appelle l'indice d'isotropie.

Exemples. Il est nul pour le carré de la norme euclidienne, et vaut n dans l'exemple précédent, ainsi que pour la forme quadratique sur $\mathbb{C}^{2n}$ donnée par

$\sum_{i=1}^{2n} z_i^2$

Plus généralement, l'indice d'isotropie d'une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel complexe est égal à [dimV]/2 (partie entière).

Classification des formes quadratiques

On dira que deux formes quadratiques Q et Q' sont équivalentes (certains auteurs disent isométriques) s'il existe une application linéaire inversible $\,\phi$ telle que $\,Q^\prime=Q\circ\phi$. Cela revient à dire que l'expression de $\,Q^\prime$ dans une base $(e_i)_{1\le i\le n}$ est identique (en tant que polynôme par rapport aux coordonnées) même que celle de Q dans la base $\big(\phi(e_i)\big)_{1\le i\le n}$. Cela équivaut aussi à dire que leurs matrices dans une même base sont congruentes.

Classer les formes quadratiques sur un espace vectoriel V, c'est :

• déterminer les classes d'équivalence de la relation précédente (qui est clairement une relation d'équivalence) ;
• ou, ce qui revient au même, déterminer les orbites de l'ensemble des formes quadratiques sous l'action du groupe linéaire

$\,\mathrm{GL}(V)$ donnée par $(\phi,Q)\mapsto Q\circ\phi$

(ce sont deux façons d'exprimer la même chose).

On a les résultats suivants.

• Lorsque V est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps F algébriquement clos (de caractéristique différente de 2), deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

En effet, soit $\sum_{i=1}^rc_ix_i^2,\, c_i\not=0$ l'expression d'une forme quadratique de rang r dans une base orthogonale $(e_i)_{1\le i\le n}$. Il existe pour tout i entre 1 et r un $d_i\in F$ non nul tel que $d_i^2=c_i,$. En remplaçant $e_i$ par $\frac{1}{d_i}e_i$ (pour i entre 1 et r), on obtient une nouvelle base où la forme s'écrit $\sum_{i=1}^r(x_i^\prime)^2$.

• Lorsque V est un espace vectoriel de dimension finie sur ℝ, deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang et même signature (loi d'inertie de Sylvester).
• Si F est un corps fini de caractéristique différente de 2,

toute forme quadratique non dégénérée sur $F^n$ est équivalente à

$x_1^2+\ldots +x_{n-1}^2+x_n^2\quad \textrm{ou} \quad x_1^2+\ldots+ x_{n-1}^2+ ax_n^2$

où a est un élément de $F^\ast$ qui n'est pas un carré. Sachant que $F^\ast/F^{\ast 2}$ a deux éléments, cela montre qu'il y a exactement deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur $F^n$.

Deux formes quadratiques équivalentes ont même rang et même indice d'isotropie, mais la réciproque est loin d'être vraie en général.

Discriminant

Généralités

Soit q une forme quadratique et A sa matrice par rapport à une base de V. Si l'on effectue un changement de base de matrice Q, la matrice de q dans la nouvelle base sera $\,A^\prime ={}^tQAQ$. D'après les propriétés élémentaires des déterminants, $\det A^\prime=(\det Q)^2\det A$. Si q est non dégénérée, l'image du déterminant dans le groupe quotient $K^\ast/(K^\ast)^2$ ne dépend pas de la base. C'est cet élément que l'on appelle le discriminant de la forme quadratique. Si q est dégénérée, on convient que le discriminant est nul.

Exemples

• Corps des complexes

Si $K=\mathbb{C}$, le quotient $K^\ast/(K^\ast)^2$ est réduit à l'élément neutre, et le discriminant est sans intérêt.

• Corps des réels

Si $K=\mathbb{R}$, le quotient $K^\ast/(K^\ast)^2$ s'identifie à $\{\pm 1\}$, vu comme sous-groupe multiplicatif de $\mathbb{R}^\ast$. On peut donc parler de formes quadratiques à discriminant positif ou négatif. Par exemple, le discriminant de la forme quadratique $ax^2+2bxy+cy^2$ sur $\mathbb{R}^2$, supposée non dégénérée, est donnée par le signe de $\,ac-b^2$. S'il est positif, la forme est définie positive ou définie négative, s'il est négatif, la réduction de Gauss sera de la forme $(ux+vy)^2-(u^\prime x+ v^\prime y)^2$. On retrouve, ce qui n'est pas surprenant, la théorie de l'équation du second degré.

• Corps finis

Si p est un nombre premier impair, et K le corps $\mathbb{F}_p$ à p éléments, la théorie élémentaires des résidus quadratiques assure que $K^\ast/(K^\ast)^2$ est encore isomorphe au groupe à deux éléments.

• Corps des rationnels

La décomposition d'un entier en facteurs premiers permet de voir que $\mathbb{Q}^\ast/\mathbb{Q}^{\ast 2}$ est infini. Dès la dimension 1, il existe donc une infinité de formes quadratiques deux à deux non équivalentes.

Géométrie des formes quadratriques

Article détaillé : Théorème de Witt (en).

Cas de corps de caractéristique deux

La théorie des formes quadratiques de caractéristique 2 est légèrement différente, essentiellement parce que la division par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme Q(u) = B(u,u) pour une forme bilinéaire symétrique B. En outre, même si B existe, elle n'est pas unique : puisque les formes alternées sont aussi symétriques en caractéristique 2, on peut ajouter toute forme alternée à B et obtenir la même forme quadratique.

Une définition plus générale d'une forme quadratique qui marche pour toute caractéristique est la suivante. Une forme quadratique d'un espace vectoriel V sur un corps F est comme une application $Q : V \rightarrow F$ telle que

• $Q(au) = a^2 Q(u)\,$ $\forall a \in F$ et $u \in V$, et
• $Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\,$ est une forme bilinéaire sur V.

Généralisations

On peut généraliser la notion de forme quadratique à des modules sur un anneau commutatif. Les formes quadratiques entières sont importantes en théorie des nombres et topologie.

Bibliographie

• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]

Articles connexes

• Réduction de Gauss
• Matrice définie positive
• Première forme fondamentale
• Seconde forme fondamentale
• Théorème de Meyer