Théorème d'Ostrowski

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps ℚ des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.

Plus précisément et plus généralement^[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|^c, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1. Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K = ℚ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.

Valeur absolue[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Valeur absolue.

Soit K un corps. Une valeur absolue sur K est une application | ∙ | de K dans l'ensemble des réels positifs, vérifiant :

$\forall x\in K,\ |x|=0\Longleftrightarrow x=0~;$
$\forall (x,y)\in K^{2},\ |x\times y|=|x|\times |y|~;$
$\forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq |x|+|y|.$

L'application $(x, y) \mapsto | y - x |$ est alors une distance sur K.

Si la valeur absolue vérifie la condition $\forall (x,y)\in K^{2},\ |x+y|\leq \max(|x|,|y|),$ plus forte que la condition 3, alors la valeur absolue est dite ultramétrique.

Valeur absolue triviale[modifier | modifier le code]

La valeur absolue triviale | ∙ |₀ sur un corps est définie par $|x|_{0}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\1&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$

Valeur absolue usuelle[modifier | modifier le code]

La valeur absolue usuelle | ∙ |_$\infty$ sur ℚ est définie par $|x|_{\infty }={\begin{cases}x&{\text{si }}x\geq 0\\-x&{\text{si }}x<0.\end{cases}}$

Valeur absolue p-adique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier p fixé, tout rationnel non nul $x$ s'écrit de manière unique sous la forme $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ où $n$ , $a$ sont des entiers relatifs, $b$ est un entier strictement positif tels que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, et $p$ ne divise ni $a$ ni $b$ .

L'entier $n$ est la valuation p-adique de $x$ . La valeur absolue p-adique | ∙ |_p sur ℚ est alors définie par $|x|_{p}={\begin{cases}0&{\text{si }}x=0\\p^{-n}&{\text{si }}x\neq 0.\end{cases}}$

Elle est ultramétrique.

Valeurs absolues équivalentes[modifier | modifier le code]

Deux valeurs absolues sur un corps K sont dites équivalentes lorsque les distances associées sont topologiquement équivalentes. Elles sont alors puissance l'une de l'autre avec un exposant strictement positif.

Théorème d'Ostrowski[modifier | modifier le code]

Théorème^[2] — Toute valeur absolue non triviale sur ℚ est équivalente à la valeur absolue usuelle | ∙ |_$\infty$ ou à l'une des valeurs absolues p-adiques | ∙ |_p où p est un nombre premier.

Complétés du corps des nombres rationnels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Complété d'un espace métrique.

Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complétés du corps ℚ. Si l'on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à ℝ. On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si l'on complète le corps ℚ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 36.
↑ (de) Alexander Ostrowski, « Über einige Lösungen der Funktionalgleichung $\varphi (x)\varphi (y)=\varphi (xy)$ », Acta Mathematica, vol. 41, n^o 1,‎ 1916, p. 271-284 (DOI 10.1007/BF02422947).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Théorème d'Ostrowski, sur Wikiversity

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, AMS, 1996, 2^e éd., 276 p. (ISBN 978-0-8218-0429-2, lire en ligne)
(en) Nathan Jacobson, Basic Algebra : II, vol. II, W. H. Freeman, 1989, 2^e éd., 686 p. (ISBN 978-0-7167-1933-5)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Abdellah Bechata, « Une démonstration du théorème d'Ostrowski »
(en) Keith Conrad, « Ostrowski for number fields »
(en) Keith Conrad, « Ostrowski's theorem for F(T) »

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions], p. 36.

[2] (de) Alexander Ostrowski, « Über einige Lösungen der Funktionalgleichung $\varphi (x)\varphi (y)=\varphi (xy)$ », Acta Mathematica, vol. 41, n^o 1,‎ 1916, p. 271-284 (DOI 10.1007/BF02422947).

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