Série géométrique

En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner. C'est la série des termes d'une suite géométrique.

Bien qu'en apparence simple, elle mérite attention car elle admet une généralisation dans les algèbres de Banach qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Définition dans le corps des réels

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial $u_0=a \in \R$ et de raison $q \in \R$. On exclut le cas $q=1$ qui nous donne une suite constante égale à $a$. La série$(S_n)_{n \in \N}$ des sommes partielles de cette suite est définie par

$\forall n \in \N^*,\ S_n=\sum_{k=0}^{n-1} u_k=u_0+u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{n-1}$

Terme général

Nous connaissons le terme général de la suite géométrique $(u_k)$ (avec, dans le cas présent, $a=u_0$) :

$\forall k \in \N,\ u_k=aq^k$

Montrons que le terme général de la série $(S_n)$ s'écrit :

$S_n=a \sum_{k=0}^{n-1} q^{k} =a \frac{1-q^{n}}{1-q}$

Preuve par récurrence

L'identité est vraie pour $n=1$. Supposons-la vérifiée au rang $n$. Alors, il suffit d'écrire :

$S_{n+1}=S_n+aq^n=a\frac{1-q^{n}}{1-q}+aq^n=a\frac{1-q^{n}+q^n-q^{n+1}}{1-q}=a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

ce qui montre l'assertion au rang $n+1$.

Preuve directe

Pour $n \in \N$ fixé, on multiplie $S_n$ par $q$, puis on soustrait le résultat obtenu à $S_n$ :

$\begin{array}{ccccccccccccccc} S_n &=& a &+& a.q &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} & & \\ qS_n &=& & & a.q &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} &+& aq^n \\ \hline S_n-qS_n &=& a & & & & & & & & & & &-& aq^n~. \\ \end{array}$

On obtient donc

$\left(1-q\right)S_n=a\left(1-q^n\right)$.

Une variante de rédaction de la preuve de cette formule est d'écrire

$S_n = a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}$,

puis de multiplier « de chaque côté » de l'égalité par $(1-q)$ de la manière suivante :

$\begin{align} (1-q)S_n&=(1-q)(a+ aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1})\\ &=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}\\ &{\color{White}{}=a}-aq-aq^2-\cdots-aq^{n-1}-aq^n\\ &=a-aq^n\\ &=a(1-q^n) \end{align}$

(c'est une somme télescopique).

Finalement on trouve :

$S_n=a\cfrac{1-q^n}{1-q}$.

Preuve utilisant des règles de proportionnalité

C'est la démarche employée par Euclide dans son Livre IX des Éléments, théorème 33 proposition XXXV, pour des nombres entiers positifs. Il utilise une propriété qu'il a également démontrée : quand plusieurs fractions sont égales, elles sont aussi égales à la fraction obtenue en faisant la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs.

Or, dans une suite géométrique, il y a égalité des rapports entre deux termes consécutifs mais aussi égalité du rapport entre la différence de deux termes consécutifs et le premier d'entre eux. En langage mathématique, cela donne

$\frac{u_0-u_1}{u_0} = \frac{u_1-u_2}{u_1} = \frac{u_2-u_3}{u_2} = \cdots = \frac{u_{n-1}-u_n}{u_{n-1}} = 1-q$

Puis, en sommant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$1-q = \frac{u_0-u_1+u_1-u_2+u_2-u_3+ \cdots + u_{n-1}-u_n}{u_0+u_1+u_2+\cdots+ u_{n-1}} = \frac{u_0-u_n}{S_n}$

Une telle démonstration reste valable tant que les termes de la suite sont non nuls et la somme est non nulle.

Convergence

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, ou ce qui est équivalent, les cas où la suite $(S_n)$ est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas $a=0$ qui est sans intérêt):

• Si $|q|<1$, alors $q^n$ tend vers 0, donc la suite $(S_n)$ est convergente, de limite

$\cfrac{a}{1-q}$.

Cette notion permet de résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.

• Si $|q|=1$, on a deux cas. Si q=1, alors $S_n=an$ et si $q=-1$, alors $S_n=0$ pour $n$ pair et $S_n = a$ pour $n$ impair. La suite diverge dans les deux cas.
• Si $|q|>1$, la suite $(q^n)$ diverge et a fortiori $(S_n)$ diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose donc du résultat général suivant :

La série géométrique réelle de terme initial $a \in \R$ non nul et de raison $q \in \R$ est convergente si et seulement si $|q|< 1$. Dans ce cas, sa somme vaut :

$\sum_{n=0}^{\infty}aq^n=\frac a{1-q}.$

Exemples numériques

• On cherche à calculer $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256$.

C'est la somme partielle d'une série géométrique de raison 2 et de premier terme 2. La formule ci-dessus s'écrit :

$2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256=2\times \frac{1-256}{1-2}=510$

Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme $a \in \mathbb{C}$ et de raison $q \in \mathbb{C}$ est la série de terme général $aq^n$.

La condition nécessaire et suffisante de convergence est que la raison $q$ soit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Leur rayon de convergence est 1, et le point 1 est une singularité (et plus précisément, un pôle).

Séries géométriques dans les algèbres de Banach

Si $(A,\|.\|)$ désigne une algèbre de Banach, la série géométrie de raison $u\in A$ est la série de terme général $u^n$. Lorsque $\|u\|<1$, la sous-multiplicativité donne :

$\|u^n\|\leq \|u\|^n$

Comme la série géométrique réelle de raison $\|u\|$ est convergente, la série géométrique de raison $u$ est absolument convergente. Notons $S$ sa somme. Alors on a :

$(1-u)S=\sum_{n=0}^{\infty} u^n-\sum_{n=1}^{\infty} u^n=1$

Donc $S$ est l'inverse de $(1-u)$. C'est un résultat fondamental. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

• L'ensemble des éléments inversibles de $A$ est un ouvert.
• Pour un élément $x \in A$, son spectre - l'ensemble des complexes $\lambda$ tels que $(\lambda-x)$ ne soit pas inversible - est une partie fermée non vide et bornée de $\mathbb{C}$.
• Sur son domaine de définition, l'application $\lambda\mapsto (\lambda-x)^{-1}$ est développable en séries entières.

Bibliographie

• Eric J.-M. Delhez, Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]