Série géométrique

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Illustration de l'égalité
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ = 1/3 :
chacun des carrés violets mesure 1/4 de la surface du grand carré le plus proche (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). Par ailleurs, la somme des aires des carrés violets est égale à un tiers de la superficie du grand carré.

En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner. C'est la série des termes d'une suite géométrique. Intuitivement, une série géométrique est une série avec un ratio constant des termes successifs. Par exemple, la série

\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots

est géométrique, parce que chaque terme successif peut être obtenu en multipliant le terme précédent par 1/2.

Bien qu'en apparence simple, elle mérite attention car elle admet une généralisation dans les algèbres de Banach qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Définition dans le corps des réels[modifier | modifier le code]

Soit (u_n)_{n \in \N} une suite géométrique à valeurs réelles de terme initial u_0=a \in \R et de raison q \in \R. On exclut le cas q=1 qui nous donne une suite constante égale à a. La série (S_n)_{n \in \N} des sommes partielles de cette suite est définie par

\forall n \in \N^*,\ S_n=\sum_{k=0}^{n-1} u_k=u_0+u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{n-1}

Terme général[modifier | modifier le code]

Nous connaissons le terme général de la suite géométrique (u_k) (avec, dans le cas présent, a=u_0) :

\forall k \in \N,\ u_k=aq^k

Montrons que le terme général de la série (S_n) s'écrit :

 S_n=a \sum_{k=0}^{n-1} q^{k} =a \frac{1-q^{n}}{1-q}

Exemple numérique[modifier | modifier le code]

Cet exemple ne vaut pas démonstration mais permet d'illustrer la formule de la section précédente, en calculant la somme d'une succession d'éléments d'une suite géométrique à partir du premier élément, de sa raison et du nombre d'éléments.

Dans le cas d'une suite de puissances entières, cette formule permet également de retrouver l'élément suivant de la suite.

On cherche à calculer S_9 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256

C'est la somme partielle jusqu'au 9e terme d'une série géométrique de raison « 2 » et de premier terme « 1 ». On y reconnaîtra la somme des 9 puissances de deux consécutives (c'est-à-dire : 20 + .. 2n + .. + 28, avec n entier allant de 0 à 8).

La formule de la section précédente s'écrit pour la série finie ci-dessus :

S_9 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256=2^0\times \frac{1-2^9}{1-2}=1\times \frac{1-512}{1-2}=511

On remarquera également que l'élément suivant de la suite des 2^n, à savoir 2^9, est égal à S_9 + 1

Article détaillé : Puissance de deux.

Preuve par récurrence[modifier | modifier le code]

L'identité est vraie pour n=1. Supposons-la vérifiée au rang n. Alors, il suffit d'écrire :

S_{n+1}=S_n+aq^n=a\frac{1-q^{n}}{1-q}+aq^n=a\frac{1-q^{n}+q^n-q^{n+1}}{1-q}=a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

ce qui montre l'assertion au rang n+1.

Preuve directe[modifier | modifier le code]

Pour n \in \N fixé, on multiplie S_n par q, puis on soustrait le résultat obtenu à S_n :


\begin{array}{ccccccccccccccc}
S_n      &=& a   &+& aq &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} & & \\
qS_n     &=&     & & aq &+& aq^2 &+& \ldots &+& aq^{n-2} &+& aq^{n-1} &+& aq^n \\
\hline
S_n-qS_n &=& a   & &     & &      & &        & &          & &          &-& aq^n.
\end{array}

On obtient donc

\left(1-q\right)S_n=a\left(1-q^n\right).

Une variante de rédaction de la preuve de cette formule est d'écrire

S_n = a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1},

puis de multiplier « de chaque côté » de l'égalité par 1-q :

\begin{align}
(1-q)S_n&=(1-q)(a+ aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1})\\
        &=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}\\
        &{\color{White}{}=a}-aq-aq^2-\cdots-aq^{n-1}-aq^n\\
        &=a-aq^n\\
        &=a(1-q^n)
\end{align}

(c'est une somme télescopique).

Finalement on trouve :

S_n=a\cfrac{1-q^n}{1-q}.

Preuve utilisant des règles de proportionnalité[modifier | modifier le code]

C'est la démarche employée par Euclide dans son Livre IX des Éléments, théorème 33 proposition XXXV, pour des nombres entiers positifs[1]. Il utilise une propriété qu'il a également démontrée : quand plusieurs fractions sont égales, elles sont aussi égales à la fraction obtenue en faisant la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs.

Or, dans une suite géométrique, il y a égalité des rapports entre deux termes consécutifs mais aussi égalité du rapport entre la différence de deux termes consécutifs et le premier d'entre eux. En langage mathématique, cela donne

\frac{u_0-u_1}{u_0} = \frac{u_1-u_2}{u_1} = \frac{u_2-u_3}{u_2} = \cdots = \frac{u_{n-1}-u_n}{u_{n-1}} = 1-q

Puis, en sommant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

1-q = \frac{u_0-u_1+u_1-u_2+u_2-u_3+ \cdots + u_{n-1}-u_n}{u_0+u_1+u_2+\cdots+ u_{n-1}} = \frac{u_0-u_n}{S_n}

Une telle démonstration reste valable tant que les termes de la suite sont non nuls et la somme est non nulle.

Convergence[modifier | modifier le code]

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, ou ce qui est équivalent, les cas où la suite (S_n) est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas a=0 qui est sans intérêt) :

  • Si |q|<1, alors q^n tend vers 0, donc la suite (S_n) est convergente, de limite
\cfrac{a}{1-q}.
Cette notion permet de résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.
  • Si |q|=1, on a deux cas. Si q=1, alors S_n=an et si q=-1, alors S_n=0 pour n pair et S_n = a pour n impair. La suite diverge dans les deux cas.
  • Si |q|>1, la suite (q^n) diverge et a fortiori (S_n) diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose donc du résultat général suivant :

La série géométrique réelle de terme initial a \in \R non nul et de raison q \in \R est convergente si et seulement si |q|< 1. Dans ce cas, sa somme vaut :

\sum_{n=0}^{\infty}aq^n=\frac a{1-q}.

Généralisation au corps des complexes[modifier | modifier le code]

Les résultats s'étendent très naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme a \in \mathbb{C} et de raison q \in \mathbb{C} est la série de terme général aq^n.

La condition nécessaire et suffisante de convergence est que la raison q soit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Leur rayon de convergence est 1, et le point 1 est une singularité (et plus précisément, un pôle).

Séries géométriques dans les algèbres de Banach[modifier | modifier le code]

Si (A,\|.\|) désigne une algèbre de Banach, la série géométrie de raison u\in A est la série de terme général u^n. Lorsque \|u\|<1, la sous-multiplicativité donne :

\|u^n\|\leq \|u\|^n.

Comme la série géométrique réelle de raison \|u\| est convergente, la série géométrique de raison u est absolument convergente. Notons S sa somme. Alors on a :

(1-u)S=\sum_{n=0}^{\infty} u^n-\sum_{n=1}^{\infty} u^n=1

donc S est l'inverse de 1-u. C'est un résultat fondamental. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

  • l'ensemble des éléments inversibles de A est un ouvert ;
  • pour un élément x \in A, son spectre — l'ensemble des complexes \lambda tels que \lambda-x ne soit pas inversible — est une partie fermée non vide et bornée de ℂ ;
  • sur son domaine de définition, l'application \lambda\mapsto (\lambda-x)^{-1} est développable en série entière.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide, traduction de D. Henrion, 1632, pp.344-345

Bibliographie[modifier | modifier le code]