Distance ultramétrique

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En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z)).

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique[1].

Définition et exemples[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application d : \mathrm{E}\times \mathrm{E} \rightarrow \mathbb{R}^+ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom Propriété
symétrie \forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=d(y,x)
séparation \forall x,y\in \mathrm{E},\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y
inégalité ultratriangulaire[réf. souhaitée] \forall x,y,z\in \mathrm{E},\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire).

Distance triviale[modifier | modifier le code]

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

d(x,y)= \begin{cases} 
0 & \text{si } x=y  \\ 
1 & \text{si } x \ne y \end{cases}

L'inégalité

d(x,z) \leq \max (d(x,y), d(y,z))

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble ℚ[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique v_{p}(r) de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

v_{p}(r+r') \geq \inf (v_{p}(r), v_{p}(r')) et v_{p}(-r) = v_{p}(r).

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

d(x,y)= \begin{cases} 
0 & \text{si } x=y  \\ 
p^{-v_{p}(x-y)} & \text{si } x \ne y \end{cases}

La première propriété précédente conduit facilement à

d(x,z) \leq \max (d(x,y), d(y,z))

ce qui implique facilement l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées[2].

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ.

Autres exemples[modifier | modifier le code]

En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

  • Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :

B(a,r)\, \cap B(a',r')\, \ne \varnothing\ {\rm et}\ r \leq r' \Rightarrow B(a,r)\, \subset B(a',r')\,

  • Tout point d'une boule en est un centre :

x \in B(a,r)\, \Rightarrow B(x,r)\, = B(a,r)\,

  • Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :

Toute boule fermée est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.

  • Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux[3] », ce qui s'écrit aussi :

d(x,y) \ne d(y,z) \Rightarrow d(x,z)= \max(d(x,y),d(y,z)).

Application[modifier | modifier le code]

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette notion a été introduite par Marc Krasner (de), « Nombres semi-réels et espaces ultramétriques », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 219, no 2,‎ 1944, p. 433-435 (lire en ligne), qui signale : « Les seuls espaces ultramétriques considérés jusqu'à présent semblent être les corps et les algèbres valués ».
  2. Jean-Luc Verley, Espaces métriques, dans Dictionnaire des mathématiques ; algèbre, analyse, géométrie, éd. Albin Michel, p. 652-653.
  3. a et b (en) Emil Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions, AMS,‎ 1967 (ISBN 9780821840757, lire en ligne), p. 44.