Dimension topologique

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En mathématiques, la dimension topologique est une notion destinée à étendre à des espaces topologiques la notion algébrique de dimension d'un espace vectoriel.

Deux approches sont possibles. La première est la dimension inductive, la seconde est la dimension de recouvrement de Lebesgue. Ces deux approches donnent le même résultat pour les espaces topologiques normaux à base dénombrable, c'est-à-dire les espaces métrisables et séparables. On parle alors de dimension topologique. Cette catégorie d'espaces inclut en particulier les variétés topologiques et a fortiori les variétés différentielles.

Lorsque l'espace E est métrisable, on peut calculer sa dimension de Hausdorff. Cependant, cette dernière dépend spécifiquement de la distance utilisée. Dans le cas où l'espace E est métrisable et à base dénombrable[citation nécessaire], sa dimension topologique est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie[réf. nécessaire].

Une définition possible de fractale est celle d'un espace métrique dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff.[réf. souhaitée]

Dimension inductive[modifier | modifier le code]

La dimension inductive, comme son nom l'indique, se définit par récurrence.

Espace de dimension zéro[modifier | modifier le code]

Un espace topologique non vide[citation nécessaire] E est de dimension zéro lorsqu'il possède une base d'ouverts fermés.

Espace de dimension n[modifier | modifier le code]

On procède en deux temps.

  • L'espace topologique non vide E est de dimension au plus n si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus n – 1.[réf. souhaitée]
  • L'espace topologique non vide E est de dimension n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de dimension au plus n – 1, et de dimension infinie s'il n'existe pas de n tel qu'il soit de dimension au plus n. La dimension de E est alors notée ind(E).

La première de ces propriétés possède deux variantes :

  1. L'espace topologique non vide E est de dimension au plus n si pour tout point x de E et tout ouvert U contenant x, il existe un ouvert V de E contenant x dont la frontière est de dimension au plus n – 1 et incluse dans U.
  2. L'espace topologique non vide E est de dimension au plus n si pour tout fermé F inclus dans E et tout ouvert U contenant F, il existe un ouvert V de E contenant F dont la frontière est de dimension au plus n – 1 et incluse dans U.

Exemples[modifier | modifier le code]

Dimension de recouvrement[modifier | modifier le code]

La dimension de recouvrement se construit en deux temps elle aussi.

  • Un espace topologique E est de dimension au plus n lorsque tout recouvrement ouvert fini de E admet un recouvrement ouvert fini plus fin tel que chaque point de E appartient à au plus n + 1 ouverts de ce dernier recouvrement.
  • Un espace topologique est de dimension n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de dimension au plus n – 1. Il est de dimension infinie lorsque pour chaque entier n, il n'est pas de dimension au plus n. La dimension de E est alors notée dim(E).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover,‎ 1995 (1re éd. Springer, 1978) (ISBN 978-0-486-68735-3), Counterexamples 127 (Roy's lattice subspace), 129 (Cantor's teepee).
  2. (en) Dennis Pixton , Totally disconnected and zero dimensional metric spaces, Math 479 - Spring 2011, Real Analysis II, Binghamton University.