Puissance du continu

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En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, on dit d'un ensemble E qu'il a la puissance du continu (ou parfois le cardinal du continu) s'il est équipotent à l'ensemble ℝ des nombres réels, c'est-à-dire s'il existe une bijection de E dans ℝ.

Le cardinal de ℝ est parfois noté \mathfrak c, en référence au continu (en), nom donné à l'ensemble ordonné (ℝ, ≤). Cet ordre (et a fortiori le cardinal de l'ensemble sous-jacent) est entièrement déterminé (à isomorphisme près) par quelques propriétés classiques.

Il est aussi couramment noté 2ℵ₀, parce que ℝ est équipotent à l'ensemble P(ℕ) des parties de l'ensemble ℕ des entiers naturels, dont la cardinalité dénombrable est notée ℵ₀, et que pour tout ensemble E, le cardinal de P(E) est 2cardinal de E.

Histoire[modifier | modifier le code]

On doit cette notion à Georg Cantor qui a montré, dans un article paru en 1874, que le continu n'était pas équipotent au dénombrable, et par là-même l'existence de plusieurs « infinis ». Cantor a tenté vainement de démontrer que tout sous-ensemble des réels était soit dénombrable, soit de la puissance du continu. Cette hypothèse, dite hypothèse du continu, ne peut être ni confirmée ni infirmée dans la théorie des ensembles ZFC dont on pense que c'est une formalisation assez fidèle de la théorie de Cantor.

La puissance du continu est la cardinalité de l'ensemble des parties de ℕ[modifier | modifier le code]

Il revient au même — en identifiant chaque partie de ℕ à sa fonction caractéristique — d'affirmer que ℝ est équipotent à l'ensemble {0, 1} des suites de zéros et de uns. L'idée principale pour le démontrer est de considérer une telle suite (k0, k1, … ) comme le développement 0,k0k1… en base n d'un réel compris entre 0 et 1. On peut également remarquer qu'une construction des nombres réels à partir des rationnels, par exemple celle par les coupures de Dedekind, induit naturellement une injection de ℝ dans P(ℚ) (donc dans P(ℕ) car ℚ est dénombrable).

  • En base n > 2, l'application qui à toute suite de zéros et de uns associe le réel qu'elle représente est une injection de {0, 1} dans [0, 1[ donc dans ℝ, si bien que card(P(ℕ)) ≤ card(ℝ). Par ailleurs, l'application qui à tout réel x associe l'ensemble des rationnels inférieurs ou égaux à x est également injective donc card(ℝ) ≤ card(P(ℚ)) = card(P(ℕ)). Le théorème de Cantor-Bernstein permet de conclure.
  • La base 2 nécessite une précaution, à cause des possibilités de « développement impropre » (par exemple : 0,0111… = 0,1000…), mais permet de donner une preuve qui ne s'appuie pas sur le théorème de Cantor-Bernstein. Les développements qui se terminent par une infinité de 0 correspondent aux parties finies de ℕ et ceux qui se terminent par une infinité de 1 aux parties cofinies, c'est-à-dire de complémentaire fini. Les réels de ]0, 1[ qui admettent deux développements sont par conséquent en bijection avec l'un (au choix) de ces deux ensembles de parties[1], donc aussi avec leur réunion[2]. Les réels restants sont en bijection naturelle — comme précédemment — avec les parties restantes (ni finies, ni cofinies) de ℕ. On construit ainsi une bijection entre P(ℕ) et ]0, 1[, qui est lui-même en bijection avec ℝ, par exemple par l'application xlog|logx|.

Exemples d'ensembles ayant la puissance du continu[modifier | modifier le code]

Indécidabilité de la cardinalité de la puissance du continu[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Hypothèse du continu.

La cardinalité de ℝ est 2ℵ₀. L'affirmation que c'est 1 est appelée hypothèse du continu. Elle est démontrée indécidable dans la théorie des ensembles usuelle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En effet, si F désigne l'ensemble des parties finies et C celui des parties cofinies : ces réels sont en bijection avec F\{∅} et C\{ℕ}, donc aussi avec F et C.
  2. Car ces deux ensembles sont dénombrables et disjoints donc on peut établir une bijection entre l'un des deux et leur réunion.
  3. (en) Julian F. Fleron, « A note on the history of the Cantor set and Cantor function », Mathematics Magazine, vol. 67,‎ 1994, p. 136-140 (lire en ligne).