Fonction nulle

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En mathématiques, une fonction nulle est une fonction constante dont l'image est zéro. Elle possède de nombreuses propriétés et intervient dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle est souvent utilisée comme exemple ou contre-exemple trivial.

Énoncé[modifier | modifier le code]

On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : f(x) = 0. De manière plus rigoureuse, on dit qu'une fonction définie sur A sous-ensemble de C, par exemple, est une fonction nulle (ou est la fonction nulle de A) si c'est la restriction à A de la fonction nulle précédente (autrement dit, si ∀ x ∈ A, f(x) = 0 et si f n'est pas définie en dehors de A).

Plus généralement, soient (E, +) un ensemble muni d'une opération ayant un élément neutre noté 0 (par exemple un groupe commutatif, un anneau, un espace vectoriel) et X un ensemble quelconque. L'application nulle est l'application f de X dans E définie par f(x) = 0 pour tout élément x de X.

Définition en tant que polynôme[modifier | modifier le code]

La fonction nulle de C peut se définir comme une fonction constante, donc comme un polynôme à coefficients tous nuls). On attribue (par convention) à ce polynôme, appelé le polynôme nul, le degré –∞. Cette convention permet par exemple que l'on ait deg(PQ) = deg(P) + deg(Q) pour tous polynômes P et Q, y compris si P ou Q est nul.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Signe[modifier | modifier le code]

C'est la seule fonction, qui, pour tout réel x, est à la fois négative et positive puisqu'elle est nulle.

Parité[modifier | modifier le code]

Une des conséquences de son signe est qu'elle est la seule fonction définie sur R ou sur C à la fois paire et impaire, puisque pour tout réel x, on a f(x) = f(–x) = –f(x) = 0. On remarquera que ce résultat ne s'étend pas au cas général : pour que la fonction nulle de A soit paire (et impaire), il faut que A soit « symétrique » par rapport à 0, c'est-à-dire que x ∈ A ⇒ –x ∈ A.

Opérations algébriques[modifier | modifier le code]

Si X est un ensemble et (E, ∗) un ensemble ayant un élément neutre 0, alors la fonction nulle est l'élément neutre de l'espace EX des applications de X dans E, muni de l'opération induite par l'opération ∗ de E.

En particulier, si (E, +, .) est un espace vectoriel (R ou C munis de leurs lois usuelles par exemple), alors la somme d'une fonction f et de la fonction nulle est la fonction f et le produit de la fonction nulle par un scalaire est la fonction nulle.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La fonction nulle sur R est l'unique solution de l'équation différentielle y' = y s'annulant en au moins un point.

Intégrale et primitives[modifier | modifier le code]

L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur R) sont donc les fonctions constantes.

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

La représentation graphique de la fonction nulle sur R est la droite d'équation y = 0 : elle est confondue avec l'axe des abscisses.