Valeur absolue

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En mathématiques, la valeur absolue (parfois appelée module) d'un nombre réel est sa valeur numérique sans tenir compte de son signe. En programmation informatique, l'identificateur utilisé pour désigner la valeur absolue est usuellement abs. Il existe de nombreuses généralisations de la valeur absolue dans des espaces plus abstraits (nombre complexe, espace vectoriel, corps commutatif voire corps gauche : voir par exemple Norme). Cette notion est proche de celles de distance et de magnitude dans de nombreuses branches de la physique et des mathématiques.

Historique

Il y a eu quatre phases dans l'évolution de la notion de « valeur absolue ». Durant la première, sa définition était le « nombre sans son signe » ou la « distance à partir de zéro ». Cette définition était implicite, car il n'y avait pas eu de définition formelle.

Dans la deuxième phase, la valeur absolue était devenue une fonction, souvent utilisée dans le calcul d'erreurs. Un sens plus exact des applications de la valeur absolue à cette époque était « prendre positivement » un nombre ou « faire abstraction des signes ».

La troisième phase a découlé de la compréhension du nombre en tant que concept abstrait. La valeur absolue devint un concept spécifique défini pour chaque nombre, en plus de la méthode pour mesurer des nombres complexes. En 1821, Cauchy popularise son utilisation dans l'analyse formelle. À ce moment, il manquait une notation.

La quatrième et dernière phase découle de sa propre formalisation. Ceci était nécessaire pour l'évolution de l'analyse complexe.

Napier aurait utilisé les valeurs absolues dans l'élaboration des tables logarithmiques, alors que Descartes et Newton les auraient utilisées pour une théorie générale des équations polynomiales. Lagrange et Gauss utilisaient la valeur absolue dans la théorie des nombres pour résoudre des équations de calcul d'erreurs. Argand et Cauchy l'utilisaient pour mesurer la distance entre nombres complexes, et Cauchy l'a souvent utilisée dans l'analyse.

Valeur absolue d'un nombre réel

Première approche

Un nombre réel est constitué de deux parties : un signe + ou – et une valeur absolue.

+7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7.

–5 est constitué du signe – et de la valeur absolue 5.

La valeur absolue de +7 est donc 7, la valeur absolue de –5 est donc 5.

Comme il est fréquent de supprimer le signe lorsque celui-ci est +, on obtient alors

– la valeur absolue de 7 est 7 ;

– la valeur absolue de –5 est 5, c'est-à-dire l'opposé de –5.

D'où la définition suivante.

Définition

Pour tout nombre réel $x$, la valeur absolue de $x$ (notée $|x|$) est définie par :

• $|x| = x$, si $x > 0$
• $|x| = -x$, si $x < 0$
• $|x| = 0$, si $x=0$

Nous remarquons que $|x|=\max(x,-x)$

Propriétés

La valeur absolue possède les propriétés suivantes, pour tous réels $a$ et $b$ :

• $|a| \geqslant 0$
• $|a|=0 \Leftrightarrow a = 0$
• $|ab|=|a| \times |b|$
• $\mbox{Si }b \neq 0,\ \left|\frac{a}{b}\right| =\frac{|a|}{|b|}$
• $|a+b| \leqslant |a| + |b|\$ (inégalité triangulaire)
• $|a - b| \geqslant ||a|-|b||\$ (deuxième inégalité triangulaire, découle de la première)
• $\left|\sum_{i=1}^n a_i\right|\leqslant \sum_{i=1}^n |a_i|\$ (inégalité triangulaire généralisée à une famille finie $(a_i)_{1 \leqslant i\leqslant n}$)
• $|a|=\sqrt{a^2}$
• $|a| \leqslant b \Leftrightarrow - b \leqslant a \leqslant b$ (avec b un réel strictement positif, si b est négatif, alors il n'y a pas de solutions)
• $|a| \geqslant b \Leftrightarrow a \leqslant -b \mbox{ ou } a \geqslant b$ (si b est négatif, alors les solutions sont tous les réels)

Ces dernières propriétés sont souvent utilisées dans la résolution des inéquations ; par exemple, pour un x réel :

$\begin{array}{lcll} &|x-3|&\leqslant 9 &\\ \Leftrightarrow &-9 &\leqslant x - 3 &\leqslant 9 \\ \Leftrightarrow &-6 &\leqslant x &\leqslant 12 \end{array}$

Enfin, si $f:I\subset \R \longrightarrow \R$ est continue sur $I$, alors $\left|\int_I f(t)\mathrm{d}t\right|\leqslant \int_I|f(t)|\mathrm{d}t$

Valeur absolue et distance

Il est utile d'interpréter l'expression $|x - y|$ comme la distance entre les deux nombres $x$ et $y$ sur la droite réelle.

En munissant l'ensemble des nombres réels de la distance valeur absolue, il devient un espace métrique.

Une inéquation telle que $|x - 3| \leqslant 9$ se résout alors simplement à l'aide de la notion de distance. La solution est l'ensemble des réels dont la distance au réel 3 est inférieure ou égale à 9. C'est l'intervalle de centre 3 et de rayon 9. C'est l'intervalle $[3 - 9,\ 3 + 9] = [-6,\ 12]$.

Extension aux nombres complexes

La même notation s'emploie pour le module d'un complexe. Ce choix est légitime parce que les deux notions coïncident pour les complexes dont la partie imaginaire est nulle. En outre, le module $\left|z_2 - z_1\right|$ de la différence de deux nombres complexes $z_1 = x_1 + i y_1$ et $z_2 = x_2 + i y_2$ est la distance euclidienne des deux points $\left(x_1, y_1\right)$ et $\left(x_2, y_2\right)$.

• $|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}$
• Si b est nul, module de a = $\sqrt{a^2}$ = valeur absolue de a
• En représentation exponentielle, si $a = re^{i\theta}$ alors $|a| = r$.

La fonction valeur absolue

Cette fonction fait correspondre à tout $x$, $x$ si celui-ci est positif ou $-x$ si celui-ci est négatif. La fonction valeur absolue est à valeurs positives, paire.

La fonction valeur absolue $f$ définie par $f(x) = |x|$ est continue sur $\mathbb R$ mais n'est dérivable qu'en tout point de $\mathbb R^*$.

La fonction valeur absolue de x

Si $f$ est une fonction,

• la fonction $g$ définie par $g(x) = f(|x|)$ est une fonction paire coïncidant avec $f$ pour tout $x$ de $D_f \cap \mathbb{R}_+$.
• la fonction $h$ définie par $h(x) = |f(x)|$ est une fonction coïncidant avec $f$ pour tout $x$ tel que $f(x) \geqslant 0$ et coïncidant avec $-f$ pour tout $x$ tel que $f(x) \leqslant 0$

Valeur absolue dans un corps

Une valeur absolue sur un corps $\mathbb{K}$ est une application qui à tout élément $x$ de $\mathbb{K}$ fait correspondre un nombre réel positif noté $|x|$ de telle sorte que, pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{K}$   :

• $|x| = 0 \iff x = 0$ (axiome de séparation) ;
• $|x + y| \leqslant |x| + |y|$ (inégalité triangulaire) ;
• $|xy| = |x| |y|$

Une valeur absolue est dite ultramétrique si, pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{K}$

• $|x + y| \leqslant \max( |x| , |y| )$

C'est le cas si et seulement si cette valeur absolue est induite par une valuation à valeurs réelles.

Exemples

• Le module défini sur $\mathbb{C}$ est bien une valeur absolue d'où le fait qu'on utilise la même notation.
• La valeur absolue p-adique définie sur le corps $\mathbb{Q}_p$ (p un nombre premier) est une valeur absolue ultramétrique.