Lemme de Hensel

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En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel, peut être vu comme un analogue de la méthode de Newton dans les anneaux de valuation discrète complets, c'est-à-dire qu'il permet de donner des approximations des racines des polynômes. L'exemple typique est celui de l'anneau des polynômes à coefficients dans l'anneau ℤp des entiers p-adiques, pour p un nombre premier.

Énoncés[modifier | modifier le code]

On considère un polynôme P à coefficients dans ℤp.

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod p\quad{\rm et}\quad P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod p, alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0\quad{\rm et}\quad\alpha \equiv \alpha_0 \pmod p.

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que, pour un certain entier N, on ait P'(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^N},\quad P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod {p^{N+1}}\quad{\rm et}\quad P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^{2N+1}}, alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0\quad{\rm et}\quad\alpha \equiv \alpha_0 \pmod {p^{N+1}}.

Lemme de Hensel version 3.

Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, OK son anneau des entiers, fOK[X] et x un élément de OK tel quec:=\left|\frac{f(x)}{f'(x)^2} \right|<1.Alors :

  • la suite (x_n)_{n \in\N} définie par x_0:=x et la formule de récurrence : x_{n+1}:=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} est bien définie et vérifie\vert f(x_n) \vert \leqslant c^{2^n} \vert f'(x_0) \vert^2\quad{\rm et}\quad\vert x_{n+1}- x_n\vert  \leqslant c^{2^n} \vert f'(x_0) \vert~;
  • elle converge dans OK vers une racine ξ de f et\forall n \in\N\quad\vert \xi-x_n \vert \leqslant \left|\frac{f(x)}{f'(x)}\right|^{2^n}~;
  • ξ est la seule racine de f dans la boule ouverte de OK de centre x et de rayon |f(x)/f '(x)|.
Lemme de Hensel version 4.

Tout anneau local complet est hensélien (en), c'est-à-dire, A désignant cet anneau et k son corps résiduel, que si un polynôme unitaire fA[X] a pour image dans k[X] un produit de deux polynômes g et h premiers entre eux, alors g et h se relèvent en deux polynômes de A[X] de produit f.

Ce lemme « de Hensel » a été démontré par Theodor Schönemann en 1846.