Lemme de Hensel

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En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel, peut être vu comme un analogue de la méthode de Newton dans les anneaux de valuation discrète complets, c'est-à-dire qu'il permet de donner des approximations des racines des polynômes. L'exemple typique est celui de l'anneau des polynômes à coefficients dans \mathbb{Z}_p, l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier.

Énoncés[modifier | modifier le code]

On considère un polynôme P à coefficients dans \scriptstyle\Z_p.

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que :

(i) P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod p,

(ii) P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod p,

alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0 et \alpha \equiv \alpha_0 \pmod p.

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que, pour un certain entier N, on ait :

(i) P'(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^N},

(ii) P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod {p^{N+1}},

(iii) P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^{2N+1}},

alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0 et \alpha \equiv \alpha_0 \pmod {p^{N+1}}.

Lemme de Hensel version 3.

Soit K un corps valué complet, soit  \vert  \cdot \vert une valeur absolue sur K associée à sa valuation, et soit O_K son anneau des entiers. Soit f \in O_K[X] et x \in O_K. Supposons que \vert f(x) \vert < \vert f'(x) \vert ^2. Alors :

(i) La suite (x_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par x_0:=x et la formule de récurrence : x_{n+1}:=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} est bien définie. De plus, si on pose c= -\vert \frac{f(x)}{f'(x)^2} \vert<1, alors : \vert f(x_n) \vert \leqslant c^{2^n} \vert f'(x_0) \vert^2 et \vert x_n - x_{n-1} \vert  \leqslant c^{2^{n-1}} \vert f'(x_0) \vert ,

(ii) il existe \xi \in O_K tel que (x_n)_{n \in \mathbb{N}} converge vers \xi, \xi est une racine de f, et pour tout n \in \mathbb{N}, \vert \xi-x_n \vert \leqslant \vert \frac{f(x)}{f'(x)} \vert^{2^n},

(iii) enfin, \xi est la seule racine de f dans la boule ouverte de centre x et de rayon \vert f'(x) \vert, B_{O_K}(x, \vert f'(x) \vert).