Lemme de Hensel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel, est un résultat applicable à une grande variété de situations permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton.

La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont ℤp (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.

Énoncés[modifier | modifier le code]

On considère un polynôme P à coefficients dans ℤp.

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod p\quad{\rm et}\quad P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod p, alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0\quad{\rm et}\quad\alpha \equiv \alpha_0 \pmod p.

(Plus généralement, si un anneau noethérien A est complet pour la topologie I-adique pour un certain idéal I et si P est un polynôme à coefficients dans A alors, tout élément α0 de A tel que, modulo I, P0) soit nul et P '0) soit inversible, se relève de façon unique en une racine de P dans A[1].)

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que, pour un certain entier N, on ait P'(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^N},\quad P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod {p^{N+1}}\quad{\rm et}\quad P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^{2N+1}}, alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0\quad{\rm et}\quad\alpha \equiv \alpha_0 \pmod {p^{N+1}}.

Lemme de Hensel version 3.

Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, OK son anneau des entiers, fOK[X] et x un élément de OK tel quec:=\left|\frac{f(x)}{f'(x)^2} \right|<1.Alors :

  • la suite (x_n)_{n \in\N} définie par x_0:=x et la formule de récurrence : x_{n+1}:=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} est bien définie et vérifie\vert f(x_n) \vert \leqslant c^{2^n} \vert f'(x_0) \vert^2\quad{\rm et}\quad\vert x_{n+1}- x_n\vert  \leqslant c^{2^n} \vert f'(x_0) \vert~;
  • elle converge dans OK vers une racine ξ de f et\forall n \in\N\quad\vert \xi-x_n \vert \leqslant \left|\frac{f(x)}{f'(x)}\right|^{2^n}~;
  • ξ est la seule racine de f dans la boule ouverte de OK de centre x et de rayon |f(x)/f '(x)|.
Lemme de Hensel version 4.

Tout anneau local complet est hensélien (en), c'est-à-dire, A désignant cet anneau et k son corps résiduel, que si un polynôme unitaire fA[X] a pour image dans k[X] un produit de deux polynômes g et h premiers entre eux, alors g et h se relèvent en deux polynômes de A[X] de produit f.

Ce lemme « de Hensel » a été démontré par Theodor Schönemann en 1846.

Application[modifier | modifier le code]

Soient A un anneau local noethérien, complet pour la topologie M-adique associée à son idéal maximal M, et B une A-algèbre commutative[2], de type fini en tant que A-module. Alors, toute famille d'idempotents « orthogonaux[3] » de B/MB se relève, de façon unique, en une famille d'idempotents orthogonaux de B[1].

En effet, les idempotents sont les racines du polynôme P(X) := X2X, et si P(e) est nul alors P ' (e) est son propre inverse. Or B est complet (en) pour la topologie MB-adique, ce qui permet, grâce au lemme de Hensel (version 1 ci-dessus) de relever chaque idempotent de B/MB en un idempotent de B. Enfin, si deux idempotents de B sont orthogonaux modulo MB, alors ils le sont dans l'absolu : leur produit x est nul car (par complétude) 1 – x est inversible, or x(1 – x) = 0.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Akhil Mathew, « Completions », sur CRing project.
  2. (en) David Eisenbud (en), Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (no 150),‎ (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne), p. 189-190 signale que l'hypothèse « local » n'est pas nécessaire (l'énoncé vaut alors pour tout idéal M de A), et étend la preuve d'existence (sans unicité) au cas où A n'est pas commutative, mais seulement pour une famille au plus dénombrable.
  3. C'est-à-dire dont les produits deux à deux sont nuls.