Lemme de Hensel

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En mathématiques, le lemme de Hensel, qui doit son nom au mathématicien du début du XXe siècle Kurt Hensel, est un résultat applicable à une grande variété de situations permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton.

La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont ℤp (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.

Énoncés[modifier | modifier le code]

On considère un polynôme P à coefficients dans ℤp.

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod p\quad{\rm et}\quad P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod p, alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0\quad{\rm et}\quad\alpha \equiv \alpha_0 \pmod p.

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe \alpha_0 \in\Z_p tel que, pour un certain entier N, on ait P'(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^N},\quad P'(\alpha_0) \not \equiv 0 \pmod {p^{N+1}}\quad{\rm et}\quad P(\alpha_0) \equiv 0 \pmod {p^{2N+1}}, alors, il existe \alpha \in\Z_p tel que P(\alpha) = 0\quad{\rm et}\quad\alpha \equiv \alpha_0 \pmod {p^{N+1}}.

Lemme de Hensel version 3.

Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, OK son anneau des entiers, fOK[X] et x un élément de OK tel quec:=\left|\frac{f(x)}{f'(x)^2} \right|<1.Alors :

  • la suite (x_n)_{n \in\N} définie par x_0:=x et la formule de récurrence : x_{n+1}:=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} est bien définie et vérifie\vert f(x_n) \vert \leqslant c^{2^n} \vert f'(x_0) \vert^2\quad{\rm et}\quad\vert x_{n+1}- x_n\vert  \leqslant c^{2^n} \vert f'(x_0) \vert~;
  • elle converge dans OK vers une racine ξ de f et\forall n \in\N\quad\vert \xi-x_n \vert \leqslant \left|\frac{f(x)}{f'(x)}\right|^{2^n}~;
  • ξ est la seule racine de f dans la boule ouverte de OK de centre x et de rayon |f(x)/f '(x)|.
Lemme de Hensel version 4.

Tout anneau local complet est hensélien (en), c'est-à-dire, A désignant cet anneau et k son corps résiduel, que si un polynôme unitaire fA[X] a pour image dans k[X] un produit de deux polynômes g et h premiers entre eux, alors g et h se relèvent en deux polynômes de A[X] de produit f.

Ce lemme « de Hensel » a été démontré par Theodor Schönemann en 1846.