Valuation

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En mathématiques, plus particulièrement en géométrie algébrique et en théorie des nombres, une valuation, ou valuation de Krull, est une mesure de la multiplicité. La notion est une généralisation de la notion de degré ou d'ordre d'annulation d'un polynôme formel en algèbre, du degré de divisibilité par un nombre premier en théorie des nombres, de l'ordre d'un pôle en analyse complexe ou du nombre de points de contact entre deux variétés algébriques en géométrie algébrique.

Définition[modifier | modifier le code]

On appelle valuation une application d'un anneau commutatif unitaire (A,+,\times) non nul vers un groupe abélien totalement ordonné (G,+,<) union l'infini

v:A \longrightarrow G \cup \{\infty\}

qui vérifie les propriétés suivantes :

Notes :

  1. On utilise les conventions classiques a < \infty et a + \infty =\infty pour tout a \in G.
  2. Certains auteurs se restreignent à une valuation sur un corps commutatif.
  3. Lorsque A est un corps, la deuxième propriété se traduit par : v est un morphisme de (A*, ×) dans (G, +), si bien que v(A*) est un sous-groupe de G.
  4. Lorsque A est un corps, on demande parfois à v d'être surjective, mais on peut toujours se ramener à cette situation en remplaçant G par v(A*).

Deux valuations v et v' sur A sont dites équivalentes s'il existe un isomorphisme de demi-groupes ordonnés

\lambda:v(A^*)\to v'(A^*)\quad\text{tel que}\quad v'=\lambda\circ v.

Valuations discrètes[modifier | modifier le code]

Lorsque G = ℤ muni de l'addition, v est dite valuation de Dedekind ou valuation discrète. Deux valuations discrètes v et v' sur A sont équivalentes si et seulement si elles sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe un rationnel k non nul tel que

\forall x \in A^*,\ v'(x)=kv(x).

Les classes d'équivalence des valuations discrètes sur un anneau sont appelées ses places.

Valuation triviale[modifier | modifier le code]

La valuation

\begin{array}{rrcl} v: & A & \longrightarrow & G \cup \{\infty\} \\ & x & \longmapsto & \begin{cases}\infty & \mathrm{si}\ x=0 \\  0 & \mathrm{sinon}\end{cases}\end{array}

est dite valuation triviale.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Soit A un anneau commutatif unitaire non nul muni d'une valuation v. Alors :

\forall p/q \in \mathrm{Frac}(A),\ w(p/q)=v(p)-v(q).

Valuations discrètes sur le corps des rationnels[modifier | modifier le code]

Les places de ℚ, c'est-à-dire les valuations discrètes sur ℚ à un facteur de proportionnalité près, sont :

  • la valuation triviale ;
  • les valuations p-adiques (cf. exemple ci-dessous).

Valeur absolue associée[modifier | modifier le code]

Soit v une valuation sur A à valeurs réelles, et ρ ∈ ]0, 1[. On associe à v une valeur absolue ultramétrique | ∙ |v en posant

\forall x \in A^*,\ |x|_v=\rho^{v(x)}.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les applications suivantes sont des valuations.

Ordre d'annulation d'un polynôme[modifier | modifier le code]

Soient K un corps commutatif, K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K et a un élément de K. On définit l'application « ordre d'annulation en a »

\begin{array}{rrcl} v_a: & K[X]& \longrightarrow & \Z \cup \{\infty\} \\ & P & \longmapsto & \sup\left\{k\in \N\ |\ \exists R \in K[X],\ P(X)=(X-a)^kR(X)\right\}\end{array}

qui à un polynôme P non nul associe l'ordre de multiplicité de la racine a dans P (ordre qui vaut 0 si a n'est pas racine, et l'infini si P est nul).

Si P est non nul, va(P) est égal au degré du plus petit monôme non nul de P(a + X).

Note : Si a appartient à une extension L de K (par exemple à la clôture algébrique de K), la valuation va sur L[X] se restreint en une valuation sur K[X].

Ordre d'annulation d'une fraction rationnelle[modifier | modifier le code]

Soient K un corps commutatif, K(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K et a un élément de K. On définit l'application

\begin{array}{rrcl} v_a: & K(X) & \longrightarrow & \Z \cup\{\infty\} \\ & P/Q & \longmapsto & v(P)-v(Q)\end{array}

qui à une fraction rationnelle associe la différence des ordres d'annulation du numérateur et du dénominateur en a. Si v(R) est positif, il s'agit de l'ordre d'annulation de R en a, si v(R) est strictement négatif, il s'agit de l'ordre du pôle de R en a.

Opposé du degré d'un polynôme[modifier | modifier le code]

Soient K un corps commutatif et K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K. On définit l'application

\begin{array}{rrcl} v_\infty: & K[X] & \longrightarrow & \Z \cup \{\infty\} \\ & P & \longmapsto & -\deg P\end{array}

qui à un polynôme P associe l'opposé de son degré, avec la convention que le degré du polynôme nul est –∞.

Ordre d'une série de Laurent[modifier | modifier le code]

Sur le corps k((T)) des séries formelles de Laurent sur un corps commutatif k, on a une valuation en associant à toute série de Laurent son ordre.

Ordre d'une fonction méromorphe[modifier | modifier le code]

Si U est un ouvert connexe non vide du corps des nombres complexes et si a est un point de U, on a une valuation sur le corps des fonctions méromorphes sur U en associant à tout fonction méromorphe son ordre au point a.

Valuation p-adique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour p un nombre premier, on définit l'application


\begin{array}{rrcl} 
v_p: & \Z & \longrightarrow & \N \cup \{\infty\} \\ 
& n & \longmapsto & 
\begin{cases}
\infty & \mbox{ si } n=0\\
\max \{ k \in \N\ |\  p^k \mbox{ divise }n\}& \mbox{ sinon}
\end{cases}
\end{array}

qui à un entier n associe l'exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers, avec la convention vp(0) = ∞. L'application vp est appelée valuation p-adique sur ℤ et se prolonge sur le corps des fractions ℚ. Cette valuation définit la norme p-adique, pour laquelle la complétion métrique de ℚ est le corps ℚp des nombres p-adiques.

Le point de vue métrique[modifier | modifier le code]

Si v est une valuation à valeurs réelles sur un corps K, alors l'application

\begin{array}{rrcl} f: & K^2 & \longrightarrow & \R \\ & (x,y) & \longmapsto & e^{-v(x-y)}\end{array}

est une distance sur K qui fait de K un corps topologique. La topologie sur K associée à cette distance est la plus petite rendant v continue. On dit que K est complet pour v s'il est complet pour cette distance.

La complétion de K pour v est le procédé décrit ci-dessous :

  • On note A l'anneau des suites de Cauchy de K, et on identifie les éléments de K aux suites constantes. La valuation de K se prolonge à A en une valuation encore notée v. L'ensemble I des suites de Cauchy tendant vers 0 est un idéal maximal de A sur lequel la valuation est triviale.
  • Le quotient de A par I est un corps commutatif C, que l'on appelle complété de K pour v, et K s'identifie canoniquement à un sous-corps de C . On obtient sur C une valuation qui prolonge v. Le corps K est dense dans C, pour cette valuation sur C.

Par exemple, ℚp ou le corps k((T)) peuvent être obtenus par cette construction.

Anneau de valuation[modifier | modifier le code]

Soit K un corps commutatif muni d'une valuation v. Les éléments de K de valuation positive ou nulle constituent un sous-anneau R appelé l'anneau de valuation associé à la valuation v sur K :

R=\{x\in K\ |\ v(x) \geqslant 0\}.

Le corps des fractions de R est K.

On a v(1/x) = –v(x) pour tout élément non nul x de K, et donc x est un élément inversible de R si et seulement si v(x) = 0. Par conséquent, R est un anneau local dont l'unique idéal maximal M est constitué des éléments de valuation strictement positive :

M=\{x\in K\ |\ v(x)>0\}.

Par exemple (pour les valuations usuelles sur ces corps) l'anneau de valuation de ℚp est ℤp et celui de de k((T)) (où k désigne un corps commutatif) est k[[T]]. Ces deux exemples sont de plus des anneaux de valuation discrète.

Il existe diverses caractérisations des anneaux de valuation[1] :

Soient R un anneau intègre et K son corps des fractions. Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. R est un anneau de valuation (pour une certaine valuation sur K)
  2. pour tout élément x de K qui n'appartient pas à R, l'inverse de x appartient à R,
  3. sur l'ensemble des idéaux principaux de R, l'ordre défini par l'inclusion est total,
  4. sur l'ensemble des idéaux de R, l'ordre défini par l'inclusion est total.

Deux valuations v et v' sur K sont équivalentes si et seulement si elles ont le même anneau de valuation[2].

Pour tout corps k et tout groupe abélien totalement ordonné G, il existe un corps valué (K, v) dont le groupe des ordres est G et dont le corps résiduel R/M est k[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI.1.2
  2. Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI.3.2
  3. Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI.3.4

Article connexe[modifier | modifier le code]

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