Théorème de Mahler

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Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler[1].

En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :

(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)\,.

On note \Delta l'opérateur de différence défini par

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,.

Alors nous avons

\Delta(x)_n=n(x)_{n-1}\,

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur \Delta et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est x^n.

Énoncé — Si f est une fonction continue à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques, alors

f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\Delta^k f)(0)}{k!}(x)_k\,.

Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson (en)), on a seulement besoin de la continuité.

Si f est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mahler's theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) K. Mahler, « An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable », J. Reine Angew. Math., vol. 199,‎ 1958, p. 23–34, lien Math Reviews