Sous-groupe

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Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.

Dans cet article, (G,*)\, désigne un groupe d'élément neutre e \, .

Sommaire

[modifier] Définitions

  • Soit H un sous-ensemble de G. On dit que (H,\star)\, est un sous-groupe de (G,*)\, si (H,\star) est un groupe dont la loi \star\, s'obtient par restriction de *\, à H \times H \,.
  • On peut aussi dire que H est un sous-groupe de G s'il existe un monomorphisme (ou un morphisme injectif) de H dans G, dans ce cas là H est rarement inclus dans G.

Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire *\, .

[modifier] Sous-groupe propre

  • Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
  • Soit H, un sous-groupre de G différent des sous-groupes triviaux, alors H est un sous-groupe propre de G.
    • Remarque, les groupes n'ayant pas de sous-groupes propres sont les groupes de la forme \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} avec n premier ou égal à 1.

[modifier] Caractérisation

Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide, inclus dans G et :

\forall (x,y) \in H^2, x*y^{-1} \in H

Dans le cas particulier des groupes finis, H est un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide et stable pour les produits. La condition de stabilité par les inverses n'est pas nécessaire, car elle découle de la stabilité pour les produits ; en effet, si l'on note n l'ordre d'un élément a de H, l'inverse de a est an − 1, qui appartient à H.

[modifier] Propriété

L'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, leur notation est la même aussi bien dans H que dans G. Par définition un sous-groupe est lui-même un groupe, c'est-à-dire qu'il possède aussi une loi de composition interne, un élément neutre (étant le même que celui du groupe) et tout élément du sous-groupe admet un symétrique appartenant lui même au sous-groupe .

[modifier] Exemples

[modifier] Sous-groupe des entiers relatifs

  • G un sous-groupe de \mathbb Z si et seulement s'il existe un entier n tel que G soit égal à n \mathbb Z.


Démonstration

Le sous-ensemble n \mathbb Z est clairement stable pour l'opération et passage à l'opposé. C'est donc un sous-groupe de \mathbb Z.

Réciproquement, si n est le plus petit élément positif non nul de G (et, si un tel élément n'existe pas, alors G est réduit à 0), alors n \mathbb Z est inclus dans G de manière évidente, et l'inclusion réciproque se montre par un argument de division euclidienne.

[modifier] Sous-groupe d'un groupe cyclique

Soit G un groupe cyclique d'ordre p.q où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors il existe un unique sous-groupe d'ordre p, il est cyclique et engendré par Gq si G est un élément générateur de G.

La démonstration est donnée dans Groupe cyclique.

[modifier] Sous-groupe engendré par une partie

Article détaillé : Génération d'un groupe.

Soit S \subset G une partie de G.

Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant S, appelé sous-groupe engendré par S, et noté \left \langle S \right \rangle .

[modifier] Théorème de Lagrange

Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que :

[G : H] |H| = |G|

où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.

[modifier] Corollaire

Tout groupe d'ordre premier est cyclique et isomorphe à \frac {\mathbb Z} {p \mathbb Z} où p est l'ordre du groupe.

[modifier] Liens avec les homomorphismes

La notion de sous-groupe est stable pour les homomorphismes de groupe. On l'exprime mathématiquement de la façon suivante :

Soit f : G \rightarrow G' \, un homomorphisme de groupe.

H \mbox{ sous-groupe de } G \Rightarrow f(H)\,\mbox{ sous-groupe de } G' \,

H' \mbox{ sous-groupe de } G' \Rightarrow f^{-1}(H') \mbox{ sous-groupe de } G \,

Article détaillé : homomorphisme de groupe.

[modifier] Liens avec les treillis

Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes A et B est leur intersection A \cap B . La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit \left \langle A,B \right \rangle .

Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G.

[modifier] Voir aussi

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