Suite de Cauchy

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Augustin Louis Cauchy

En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique ou plus généralement d'un espace uniforme, dont les termes se rapprochent à partir d'un certain rang. Ces suites sont celles susceptibles de converger. Elles sont au centre de la définition de la complétude. Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien français Augustin Louis Cauchy.

Cette notion se généralise, dans un espace uniforme, par celle de filtre de Cauchy.

Suite réelle ou complexe de Cauchy[modifier | modifier le code]

Une suite de réels ou de complexes (r_n) \ est dite de Cauchy, ou vérifie le critère de Cauchy, lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l'infini au sens où :

\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{p,q>n}|r_p-r_q|=0.

Cette dernière condition se réécrit classiquement à l'aide de quantificateurs universels et existentiels :

\forall\varepsilon>0,\; \exists N\in\N,\; \forall p,q>N,\; |r_p-r_q|<\varepsilon\; ,
ou encore : \forall\varepsilon>0,\; \exists N\in\N,\; \forall n>N,\; \forall k>0,\; |r_{n+k}-r_n|<\varepsilon\;.

L'uniformité dans la définition est importante. En effet, la différence des termes consécutifs de la suite (\ln(n)) \ tend vers 0, et, plus précisément :

\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).

Cependant, \ln(2n)-\ln(n)=\ln(2) \ ne converge pas vers 0 lorsque n tend vers l'infini. La suite n'est donc pas de Cauchy.

Critère de Cauchy : Une suite (r_n) \ de nombres réels (respectivement complexes) converge dans ℝ (respectivement ℂ) si et seulement si c'est une suite de Cauchy.

Suite de Cauchy dans un espace métrique[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Une suite (x_n)_{n\in\N} dans un espace métrique (E,d) est dite suite de Cauchy (ou de Cauchy) si pour tout réel \varepsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tous entiers p,q\geq N, la distance d(x_p,x_q) soit inférieure à \varepsilon :

\forall \varepsilon>0,\; \exists N\in\N,\; \forall p,q\ge N,\; d(x_p,x_q)<\varepsilon

ou plus synthétiquement, si

\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{p,q\ge n}d(x_p,x_q)=0

ou encore[1] si le diamètre de l'ensemble des termes d'indices supérieur à n tend vers 0 quand n tend vers l'infini :

\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{m\ge n}d(x_m,x_n)=0.

Les inégalités autres que \varepsilon>0 peuvent être prises indifféremment larges ou strictes. Lorsque certains ouvrages introduisent la notion de suite de Cauchy uniquement pour les suites de réels, c'est exactement la même définition. La distance d est simplement à remplacer par la valeur absolue de la différence.

Intuitivement, les termes de la suite deviennent de plus en plus proches les uns des autres d'une certaine façon qui suggère que la suite doit avoir une limite dans l'espace. Les suites convergentes sont effectivement de Cauchy, mais néanmoins la réciproque n'est pas vraie en toute généralité. Par exemple, il existe des suites de rationnels qui sont de Cauchy mais qui ne convergent pas dans ℚ.

Exemple (sans supposer connu le corps des réels) : s'inspirant de la méthode de Héron, on construit une suite décroissante de rationnels positifs xn dont les carrés tendent vers 2 : x0=3/2, x n +1 = (xn/2) + (1/xn). La suite (xn2) est de Cauchy (car convergente), et minorée par 1. On en déduit facilement que la suite de rationnels (xn) est également de Cauchy. Cependant elle n'a pas de limite rationnelle, car une telle limite b devrait vérifier b2 = 2, or la racine carrée de 2 est irrationnelle.

C'est la raison pour laquelle un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet. L'ensemble des nombres réels est complet, et la construction standard de l'ensemble des nombres réels utilise les suites de Cauchy de nombres rationnels.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy.
    Supposons qu'une suite x=(x_n) d'un espace métrique (X,d) converge vers une limite l. Alors, pour tout \varepsilon>0, il existe un entier N suffisamment grand tel que pour tout n>N on a : d(x_n,l)<\varepsilon. L'inégalité triangulaire implique que pour p,q>N, on a :
    d(x_p,x_q)\leq d(x_p,l)+d(l,x_q)<2\varepsilon.
    La suite x est donc bien de Cauchy.
    La réciproque n'est vraie que dans un espace complet, comme dans ℝn et dans ℂn pour la distance associée à n’importe quelle norme, ou plus généralement dans un espace de Banach. Par exemple, une suite de Cauchy dans le ℚ-espace vectoriel normén muni de la distance associée à la norme euclidienne, qui n'est pas complet, converge vers une limite qui peut n'appartenir qu'à ℝn et non à ℚn.
  • Toute suite de Cauchy est bornée.
    Soit (x_n) une suite de Cauchy. Appliquons la définition pour \varepsilon=1. Il existe un entier naturel N vérifiant d(x_p,x_q)<1 pour p,q\geq N. En particulier, pour p>N, on a :d(x_p,x_N)<1. Donc, à partir du rang N, les termes de la suite appartiennent à une boule de rayon 1. Par conséquent, la suite x est bornée.
  • Une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence. Si elle possède une valeur d'adhérence, alors elle converge.
    Une suite convergente dans un espace métrique possède une unique valeur d'adhérence, à savoir sa limite. La première affirmation découle donc de la seconde. Soit x une suite de Cauchy de (X,d) admettant une valeur d'adhérence a. Démontrons que x converge vers a. Pour tout \varepsilon > 0, il existe (puisque la suite est de Cauchy) un entier N tel que pour tous p,q>N on ait d(x_p,x_q)<\varepsilon, et il existe (puisque a est valeur d'adhérence) des q>N tels que d(x_q,a)<\varepsilon. Par inégalité triangulaire on en déduit que pour tout p>N, d(x_p,a)<2\varepsilon. Un tel entier N pouvant être défini pour tout réel \varepsilon>0, la suite x converge vers a.
  • L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est de Cauchy.
    Soit f une application uniformément continue d'un espace métrique (X,d_X) vers (Y,d_Y), et soit x une suite de Cauchy de (X,d_X). Fixons \varepsilon>0. Comme f est uniformément continue, il existe \eta>0 tel que, pour tous x et x' de X, on a :
    d_X(x,x')\leq \eta\Rightarrow d_Y(fx,fx')\leq \varepsilon.
    Comme x est de Cauchy, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, q>N, on a : d_X(x_p,x_q)<\eta. A fortiori, pour p, q>N, on a par l'implication ci-dessus : d_Y(fx_p,fx_q)<\varepsilon. La suite (f(x_n)) est donc elle-même de Cauchy.
  • Dans les espaces vectoriels normés, les suites de Cauchy forment un sous-espace de l'espace des suites.
    Une homothétie d'un espace vectoriel normé est une application lipschitzienne, donc uniformément continue. L'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue étant de Cauchy, si x est une suite de Cauchy d'un espace vectoriel normé E et r est un réel, alors r.x est une suite de Cauchy. De même, la somme de deux suites de Cauchy de E est une suite de Cauchy de E : la somme vectorielle définit une application uniformément continue E\times E\rightarrow E.
  • Dans une algèbre normée, un produit de suites de Cauchy est de Cauchy.
    Considérons deux suites de Cauchy x et y dans une algèbre normée (A,\|.\|). Elles sont bornées (propriété précédemment établie) ; notons alors M un majorant des suites (x_n) et (y_n). Considérons leur produit xy (produit terme à terme). Par définition des suites de Cauchy, pour \varepsilon>0, il existe un entier N tel que pour tous p, q>N, on a : \|x_p-x_q\|<\varepsilon et \|y_p-y_q\|<\varepsilon. Par inégalité triangulaire, il vient, pour p,q>N :
     \|x_py_p-x_qy_q\|\leq \|x_py_p-x_qy_p\|+\|x_qy_p-x_qy_q\|\leq \|x_p-x_q\|.\|y_p\|+\|x_q\|.y_p-y_q\|\leq 2M\varepsilon.
    La seconde inégalité provient de la sous-multiplicativité de la norme. La suite xy est donc de Cauchy.
  • Dans un espace ultramétrique (X,d), une suite (x_n) est de Cauchy si et seulement si d(x_n,x_{n+1})\rightarrow 0.
    Seul le sens réciproque n'est pas toujours vérifié et utilise l'inégalité ultramétrique. Supposons donc d(x_n,x_{n+1})\rightarrow 0. Pour \varepsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tout n>N, on a  : d(x_n,x_{n+1})<\varepsilon. Par récurrence sur k, on montre que pour tout n>N, d(x_n,x_{n+k})<\varepsilon. Cette propriété est vérifiée par choix de N pour k=1. Supposons-la établie au rang n, et regardons l'incrémentation. L'inégalité ultratriangulaire donne  :
    d(x_n,x_{n+k+1})\leq \max\left[d(x_n,x_{n+1}),d(x_{n+1},x_{n+1+k})\right]\leq \varepsilon.
    La seconde inégalité provient de l'application de l'hypothèse de récurrence.

Approche non standard[modifier | modifier le code]

En analyse non standard, pour un espace métrique standard (X,d), il existe une définition équivalente mais pratique de la notion de suite de Cauchy.

  • Dans un espace métrique standard (X,d), une suite standard x est de Cauchy si et seulement si pour tous entiers naturels non standards n et p, le réel d(x_p,x_q) est infiniment petit :
\forall p,q\in\N,\; \left[p\simeq \infty\wedge q\simeq \infty \Rightarrow d(x_p,x_q)\simeq 0\right]  .

En effet, si x est une suite de Cauchy, alors pour tout réel \varepsilon>0, il existe un entier N(\varepsilon) tel que pour tous p, q>N, on a  : d(x_p,x_q)<\varepsilon. Si \varepsilon est un réel standard, le principe de transfert permet d'imposer à N(\varepsilon) d'être un entier standard car la suite x est standard. Or tout entier naturel non standard est strictement plus grand que tout entier naturel standard. Donc, si p et q sont des entiers non standards, ils sont plus grands que tous les N(\varepsilon). De suite, d(x_p,x_q) est strictement inférieur à tous les réels standards strictement positifs ; c'est donc un infiniment petit.

Réciproquement, supposons que pour tous entiers non standards p et q, le réel d(x_p,x_q) est un infiniment petit. Fixons dans un premier temps N un entier non standard. Tout entier plus grand que N est aussi non standard. Soit \varepsilon>0 un réel standard. Alors pour p et q>N, on a : d(x_p,x_q)<\varepsilon. De fait, l'assertion suivante :

\exists N\in\N,\; \forall p,q\in\N,\; (p,q>N\Rightarrow d(x_p,x_q)<\varepsilon)

est vérifiée pour tout réel standard strictement positif \varepsilon. Par principe de transfert, elle est vérifiée pour tout \varepsilon>0, ce qui signifie exactement que x est de Cauchy.

Suite de Cauchy dans un espace uniforme[modifier | modifier le code]

Dans un espace uniforme, une suite (x_n) est dite de Cauchy lorsque pour tout écart continu d sur X, il existe un entier naturel N tel que pour tout p,q>N, on a : d(x_p,x_q)<1.

Dans des exemples pratiques :

  • Dans un groupe topologique G, une suite (g_n) est dite de Cauchy lorsque pour tout voisinage V de l'élément neutre, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, q>N on a : g_p^{-1}.g_q\in V.
  • En particulier dans un espace vectoriel topologique E, une suite de vecteurs (u_n) est dite de Cauchy lorsque pour tout voisinage V de 0, il existe un entier naturel N tel que pour tous p, q>N on a : u_q-u_p\in V.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École Polytechnique,‎ 2009 (lire en ligne), p. 68.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Oscillation (mathématiques)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) L. D. Kudryavtsev (ru), « Cauchy criteria », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)