Fermé (topologie)

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En topologie, un fermé est un ensemble dont le complémentaire est un ouvert.

Définition

Soit (E,T) un espace topologique, où E est un ensemble et T un ensemble de sous-ensembles de E.

Un sous-ensemble F de E est un fermé de (E,T) si son complémentaire dans E (c’est-à-dire l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas éléments de F) est un ouvert de (E,T), c’est-à-dire un élément de T.

Propriétés

• E et l'ensemble vide sont des ensembles à la fois ouverts et fermés dans l'espace (E,T). Cet espace est dit connexe si ce sont les seuls.
• Il peut exister aussi des ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés, comme l'intervalle [0, 1[ dans ℝ.
• La propriété d'être fermé dépend en général de l'espace ambiant considéré : dans ]–1, 1[, ce même intervalle [0, 1[ est fermé.
• Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace (E, T) est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
• Toute réunion d'une classe finie de fermés est un fermé.
• Toute intersection (finie ou infinie) de fermés est un fermé.
• La propriété d'intersection permet de définir l'adhérence d'un ensemble A dans un espace E, comme étant le plus petit fermé de E dont A est un sous-ensemble ; de façon plus spécifique, l'adhérence de A est l'intersection de tous les fermés contenant A.
• F est un fermé si et seulement s'il contient son ensemble dérivé, c'est-à-dire si tout « point limite » (ou « point d'accumulation ») de F est un élément de F.
• La frontière d'un fermé est incluse dans celui-ci.

Voir aussi

• Espace absolument fermé (en) (les plus connus sont les compacts)
• Théorème des fermés emboités