Compacité (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Compacité et Compact.

En topologie, on dit d'un espace séparé qu'il est compact, ou qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue si, chaque fois qu'il est recouvert par des ouverts, il est recouvert par un nombre fini d'entre eux. La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact.

Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle ℝ se généralisent aux espaces compacts, ce qui confère à ces derniers un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques. Notamment, ils sont utiles pour prouver l'existence d'extrema pour une fonction numérique. Le nom choisi pour cette propriété rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème qui porte leur nom établit que tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝⁿ sont les fermés bornés.

Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ».

Propriété de Borel-Lebesgue

Définition préalable : Soit E un ensemble et A une partie de E. On dit qu'une famille (U_i)_i∊I de parties de E recouvre A si sa réunion ∪_i∊IU_i contient A.

Propriété de Borel-Lebesgue pour les segments : soit un segment [a,b] de la droite réelle. De tout recouvrement ouvert de ce segment, on peut extraire un sous-recouvrement fini. C'est-à-dire que pour toute famille (U_i)_i∊I d'ensembles ouverts recouvrant [a,b], il existe une partie finie J de I telle que la sous-famille (U_i)_i∊J recouvre déjà [a,b].

Pour une démonstration de cette propriété voir le théorème de Borel-Lebesgue, aussi appelé théorème de Heine-Borel.

La propriété de Borel-Lebesgue est étroitement liée à une propriété des suites bornées de réels : de toute suite bornée de réels, on peut extraire une suite convergente. Le lien entre les deux propriétés est explicité plus bas (dans la section « Théorème de Bolzano-Weierstrass et compacité séquentielle »).

De l'une ou l'autre de ces propriétés il est possible de tirer quelques conséquences importantes sur les fonctions numériques. Notamment : l'image d'un segment par une application continue est non seulement (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) un intervalle, mais c'est même un segment (théorème des bornes), et la fonction est alors uniformément continue (théorème de Heine).

La propriété de Borel-Lebesgue (de même que la compacité séquentielle) peut se formuler comme une propriété intrinsèque de l'espace topologique étudié (ici : l'espace [a,b] muni de sa topologie usuelle), indépendamment du fait que celui-ci soit, éventuellement, inclus dans un espace topologique « plus gros » (ici : ℝ) et soit muni de ce fait de la topologie induite. En ce sens, la notion de « partie compacte » (d'un espace topologique) diffère fondamentalement de celle, par exemple, de « partie fermée ».

Axiome de Borel-Lebesgue et définition générale des compacts

Un espace topologique E est dit quasi-compact s'il vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini. L'espace est dit compact quand il est en outre séparé au sens de Hausdorff (T₂). Une partie K de E est dite (quasi-)compacte si K muni de la topologie induite est (quasi-)compact.

Pour que E soit quasi-compact, il suffit que tout recouvrement de E par des ouverts d'une base fixée possède un sous-recouvrement fini.

Démonstration

Soient B une base de E vérifiant cette hypothèse et (U_i) un recouvrement ouvert de E. Soient C l'ensemble des ouverts de B inclus dans au moins l'un des U_i et pour un tel ouvert O, soit i(O) tel que O ⊂ U_i(O). Par hypothèse, C possède un sous-recouvrement fini F. La famille (U_i(O))_O∈F est alors un sous-recouvrement fini de (U_i).

Il suffit même qu'il en soit ainsi pour une prébase (cf. Propriétés des prébases, théorème d'Alexander).

Par passage aux complémentaires, la propriété de Borel-Lebesgue équivaut à : si (F_i)_i∈I est une famille de fermés telle que ∩_i∈I F_i = ∅, alors on peut extraire une famille finie (F_i)_i∈J, avec J ⊂ I, telle que ∩_i∈J F_i = ∅. Ou encore, par contraposition, si toute intersection finie ∩_i∈J F_i d'une famille de fermés est non vide, alors l'intersection ∩_i∈I F_i de toute la famille est non vide.

NB : En terminologie anglo-saxonne, la définition est légèrement différente. Sauf mention contraire, le compact anglophone est un quasi-compact francophone et la notion de quasi-compacité n'existe pas. Toutes les propriétés ne s'appliquent donc pas en général, sauf sous l'hypothèse que l'espace est séparé.

Définition par la théorie des filtres

Un espace topologique séparé est compact si et seulement si pour tout filtre F sur E, il existe un filtre plus fin que F qui converge, ou encore si et seulement si tout ultrafiltre sur E converge. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.

Exemples

• Tout espace fini est quasi-compact puisqu'il n'a qu'un nombre fini d'ouverts.
• Dans un espace séparé, étant donnée une suite convergente, l'ensemble constitué des termes de la suite ainsi que de la limite est compact. En effet, de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un ouvert contenant la limite ; comme il n'existe qu'un nombre fini de termes hors de cet ouvert, il est aisé de trouver un sous-recouvrement fini.
• Tout ensemble muni de la topologie cofinie est quasi-compact.

Propriétés

Compacts et fermés

Dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

Démonstration

Soient A et B deux parties disjointes d'un espace séparé E qui, munies de la topologie induite, sont compactes. Montrons qu'il existe deux ouverts disjoints U, V de E, dont l'un contient A et l'autre B.

• On le démontre d'abord dans le cas particulier où B est réduit à un point b (n'appartenant pas à A). Comme E est séparé, pour tout point a de A, il existe deux ouverts disjoints O_a, W_a de E, dont le premier contient a et le second, b. La famille $(O_a)_{a\in A}$ est un recouvrement ouvert de A. On peut donc en extraire un sous-recouvrement fini $(O_a)_{a\in I}$, I étant un sous ensemble fini de A. Posons alors $O=\cup_{a\in I}O_a$ et $W=\cap_{a\in I}W_a$. Ainsi, O est un ouvert contenant A et W est un ouvert (comme intersection finie d'ouverts) contenant b. De plus, O et W sont disjoints car

$O\cap W=\cup_{a\in I}(O_a\cap W)\subset\cup_{a\in I}(O_a\cap W_a)=\emptyset.$

• On en déduit le cas général (B compact quelconque) par une méthode analogue : pour chaque point b de B il existe (d'après le cas particulier) deux ouverts disjoints U_b, V_b de E dont le premier contient A et le second, b (ce sont le O et le W construits précédemment, mais indexés à présent par b qui varie dans B). La famille $(V_b)_{b\in B}$ est un recouvrement ouvert de B. On peut donc en extraire un sous-recouvrement fini $(V_b)_{b\in J}$, J étant un sous ensemble fini de B. Comme précédemment, on pose alors $U=\cap_{b\in J}U_b$ et $V=\cup_{b\in J}V_b$ et l'on constate que U, V sont bien deux ouverts disjoints, dont le premier contient A et le second, B.

Toute partie fermée d'un espace compact est compacte.

Preuve : montrons plus généralement que dans un espace quelconque, l'intersection d'une partie fermée F et d'une partie C quasi-compacte (pour la topologie induite) est quasi-compacte. Vérifions pour cela que F∩C possède la propriété de Borel-Lebesgue formulée en termes de fermés. Soit (F_i) une famille de fermés de F∩C dont toute intersection finie est non vide. Comme les F_i sont aussi des fermés du quasi-compact C, leur intersection est non vide, ce qui conclut.

Toute partie compacte d'un espace séparé est fermée.

Preuve : soit A une partie compacte d'un espace séparé E. Montrons que son complémentaire B est ouvert. Pour tout point b de B, d'après la propriété précédente, il existe un ouvert W contenant b et disjoint d'un ouvert contenant A. Un tel W est a fortiori disjoint de A donc inclus dans B. Par conséquent B est voisinage de tous ses points, donc ouvert.

On déduit facilement des deux propriétés précédentes que dans un espace séparé, toute intersection de compacts est compacte.

N. B. : tout cela est en général faux si l'espace ambiant n'est pas séparé. Par exemple :

• dans la paire {0, 1} munie de la topologie grossière, {0} et {1} sont compacts mais pas fermés ;
• dans le produit de cette paire par ℝ (muni de sa topologie usuelle), {1}×[–1, 1] et ({0}×[–1, 0])∪({1}×]0, 1]) sont compacts (mais non fermés) et leur intersection, {1}×]0, 1], n'est même pas quasi-compacte ;
• ce même exemple montre que la compacité n'est pas préservée par réunions finies (seule la quasi-compacité l'est).

Dans un espace topologique quelconque, l'intersection de toute suite décroissante de compacts non vides est un compact non vide. (C'est le « théorème des compacts emboîtés ».)

Preuve (utilisant les deux propriétés précédentes) : soit (F_n) une telle suite. Alors les F_n sont des fermés du compact F₀. On en déduit d'abord que leur intersection est fermée dans F₀, donc compacte. De plus, toute intersection finie de parties F_n est égale à l'une d'entre elles (celle d'indice maximum) donc est non vide, si bien que (en exprimant la compacité de F₀ par la propriété de Borel-Lebesgue en termes de fermés) l'intersection de tous les F_n est non vide.

Un espace compact est normal.

Preuve : dans un espace compact E, soient A, B deux fermés disjoints. D'après les propriétés ci-dessus, A et B sont alors deux compacts disjoints et E est séparé, si bien que A et B sont inclus dans deux ouverts disjoints, ce qui prouve que E est normal.

La propriété ci-dessus permet d'affiner la précédente :

Toute intersection d'une suite décroissante de compacts connexes est connexe.

Preuve : soit (F_n) une suite décroissante de compacts ; supposons que son intersection K n'est pas connexe. Il existe donc deux fermés F et G de F₀ tels que F ⋂ K et G ⋂ K soient non vides et complémentaires dans K. Par normalité de F₀, il existe alors deux ouverts disjoints U et V de F₀ qui contiennent respectivement F ⋂ K et G ⋂ K. Notons W la réunion de ces deux ouverts et G_n le fermé F_n \ W. Les G_n forment une suite décroissante de compacts d'intersection vide, donc l'un des G_n est vide. Le F_n correspondant est alors inclus dans la réunion disjointe W = U ⋃ V. Comme ce F_n rencontre chacun des deux ouverts U et V, il n'est pas connexe, ce qui démontre la contraposée de la proposition.

Autres propriétés

Un espace vectoriel normé réel est de dimension finie si et seulement ses compacts sont ses fermés bornés.

Articles détaillés : Théorème de Borel-Lebesgue, Théorème de compacité de Riesz et § « Fermés bornés » de l'article Compacité séquentielle.

Le produit cartésien de compacts, muni de la topologie produit, est compact.

Plus précisément : tout produit de quasi-compacts est quasi-compact ; ce résultat, connu sous le nom de théorème de Tykhonov, est équivalent à l'axiome du choix.

Toute partie discrète et fermée d'un quasi-compact est finie.

Un espace séparé X est compact si et seulement si pour tout espace Y, la projection p_Y : X×Y → Y est une application fermée.

Plus généralement, un espace X est quasi-compact si et seulement s'il vérifie cette propriété.

Démonstration

• Supposons X quasi-compact. Soit F un fermé de X×Y, notons O son ouvert complémentaire. Pour prouver que p_Y(F) est fermé dans Y, montrons que son complémentaire W est voisinage de tous ses points. Pour cela, fixons un y∊W. Pour tout x∊X, le couple (x,y) appartient à O, donc à un ouvert de la forme U_x×V_x inclus dans O (avec U_x ouvert de X et V_x ouvert de Y). Le recouvrement ouvert (U_x)_x∊X du quasi-compact X possède un sous-recouvrement fini (U_x)_x∊Z. Pour un tel Z (fini), posons V=∩_x∊Z V_x : c'est un ouvert contenant y. De plus, X×V est inclus dans ∪_x∊Z U_x×V_x donc dans O, si bien que V est inclus dans W, ce qui conclut.
• Réciproquement, supposons que la projection p_Y : X×Y → Y est fermée pour tout Y et montrons que X est quasi-compact. Soit (U_i)_i∊I un recouvrement ouvert de X. Notons
  • ∞ un élément arbitraire n'appartenant pas à X,
  • Y l'union disjointe de X et du singleton {∞},
  • E l'ensemble des parties de X qui sont des réunions d'un nombre fini de U_i,
  • B l'ensemble des parties de Y qui ou bien ne contiennent pas ∞, ou bien sont de la forme {∞}∪Z avec Z complémentaire dans X d'un élément de E,
  • ∆ la diagonale de X (i.e. l'ensemble des couples (x,x) quand x parcourt X), qui est une partie de X×X donc de X×Y.

On vérifie sans peine que B constitue la base d'une topologie sur Y et on applique l'hypothèse à cet espace topologique Y : l'image par p_Y du fermé ∆ est un fermé de Y. On vérifie de plus que p_Y(∆)=X. Ceci prouve que {∞} est un ouvert de Y. On en déduit que X appartient à E, ce qui conclut.

Compacité et continuité

• L'image d'un compact, par une application continue à valeurs dans un espace séparé, est compacte.
  Preuve : Montrons que plus généralement, l'image d'un quasi-compact C⊂X par une application continue f : X → Y (avec Y non nécessairement séparé) est quasi-compacte. Soit g : C → f(C) la restriction-corestriction (continue) de f. Considérons un recouvrement ouvert de f(C), son image réciproque par g est un recouvrement ouvert de C. On peut en extraire un sous-recouvrement fini. Par surjectivité de g, l'image par g de ce sous-recouvrement est un sous-recouvrement de f(C) extrait du recouvrement initial. L'existence d'un tel sous-recouvrement démontre la quasi-compacité de f(C).
  Cette propriété permet d'exhiber des extrema globaux pour les fonctions continues à valeurs réelles. En voici quelques exemples :
  • Théorème des bornes (ou théorème de Weierstrass) : « l'image d'un segment par une application continue de ℝ dans ℝ est bornée et atteint ses bornes » (joint au théorème des valeurs intermédiaires, il assure que cette image est en fait un segment).
  • Problème du point de Fermat. Un triangle ABC étant donné, il est demandé de prouver qu'il existe un point M tel que la somme des distances AM + BM + CM soit minimale. On remarque d'abord qu'il est inutile de chercher M trop loin des points A,B,C. La considération de l'application continue M ↦ AM + BM + CM sur un disque fermé de rayon suffisamment grand permet d'appliquer le théorème : il existe un minimum global. Ce constat peut servir de point de départ à une construction explicite.
  • Distance d'un point à un fermé de ℝⁿ. Soient F une partie fermée non vide de ℝⁿ et x un point de ℝⁿ. Il s'agit de prouver qu'il existe un point f de F plus proche de x que tous les autres. De nouveau, il est inutile de chercher f trop loin de x. On peut donc se limiter à l'intersection de F et d'une boule fermée, ce qui constitue un compact d'après le théorème de Borel-Lebesgue, et introduire la fonction distance à x, qui est continue.

Une fonction à valeurs réelles continue sur un compact atteint toujours son maximum.

• Caractère isopérimétrique d'un polygone régulier, question ouverte depuis l'antiquité. L'objet est de savoir quel est le polygone à n côtés qui possède la plus grande aire, pour un périmètre donné. Des raisonnements géométriques assez simples montrent que l'unique candidat possible est le polygone régulier, résultat démontré depuis l'antiquité grecque. En revanche, l'existence d'une solution à cette question est restée ouverte jusqu'au XIX^e siècle.
  Pour comprendre la nature de la démonstration, le plus simple est de considérer le cas du triangle, illustré sur la figure de droite. Les triangles considérés sont tous de périmètre 3, ils sont identifiés à un couple (c, φ) où c désigne la longueur d'un côté et φ l'angle entre deux côtés dont l'un est celui de longueur c. La fonction f est celle qui, à un couple, associe la surface du triangle. Il n'est nécessaire que d'étudier la zone où c est compris entre 0 et ³⁄₂ et φ entre 0 et π. Cette zone est un compact de ℝ². L'application f est continue, elle atteint donc son maximum, en l'occurrence au point (1, ^π⁄₃). L'existence de ce maximum était le chaînon manquant pour une démonstration complète.
  Pour le triangle, un peu d'analyse permet tout aussi bien de démontrer le résultat. Pour le cas général du polygone à n côtés, il n'est pas bien difficile de construire une démonstration analogue à celle présentée ici, grâce à la notion de compact. La solution analytique est en revanche vraiment lourde. Une démonstration détaillée est présentée dans l'article théorème isopérimétrique.

• Un corollaire du théorème sur l'image continue d'un compact est :
  Toute application continue d'un espace compact dans un espace séparé est fermée. En particulier, si elle est bijective alors c'est un homéomorphisme.
  Des liens entre compacts et fermés on déduit par ailleurs immédiatement qu'une telle application est même propre.
• Pour toute application continue f d'un espace métrique compact X dans un espace séparé, le compact f(X) est métrisable (par exemple : l'image de tout chemin dans un espace séparé est métrisable). Grâce à une caractérisation générale de la métrisabilité de l'image d'un espace métrique par une application continue fermée, on a même l'équivalence : un espace métrique X est compact si et seulement si toutes ses images continues séparées sont métrisables.

Théorème de Bolzano-Weierstrass et compacité séquentielle

Dans un espace compact, toute partie infinie possède au moins un point limite. Plus généralement, tout espace X quasi-compact est dénombrablement compact, c'est-à-dire que toute partie infinie de X possède au moins un point d'accumulation ou encore que, dans X, toute suite a une valeur d'adhérence. La réciproque est fausse en général, mais vraie si l'espace est métrisable : lorsque K est un espace métrique (automatiquement séparé), le théorème de Bolzano-Weierstrass énonce que K est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact, c'est-à-dire si, dans K, toute suite possède une sous-suite convergente.

Le premier ordinal non dénombrable (muni de la topologie de l'ordre) et la longue droite sont séquentiellement compacts mais non compacts (ils sont cependant localement compacts). Inversement, l'espace produit [0, 1]^ℝ (c'est-à-dire l'espace des applications de ℝ dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple) et le compactifié de Stone-Čech de ℕ (c'est-à-dire le spectre de l'algèbre ℓ^∞ des suites bornées) sont compacts mais non séquentiellement compacts. Ces quatre espaces sont donc dénombrablement compacts et non métrisables.

Notes et références

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions] , chapitre I
• Jean-Paul Pier (de), « Genèse et évolution de l'idée de compact », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, vol. 14, n^o 2, 1961, p. 169-179 [texte intégral] 
• Georges Skandalis, Topologie et analyse 3^e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
• Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995

Articles connexes

• Espace compactement engendré
• Espace localement compact
• Espace noethérien
• Partie relativement compacte (en)