Série convergente

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En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un espace de Banach — c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet — il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières, il existe une large variété de résultats, tous basés sur le principe de comparaison.

Définition et propriétés générales[modifier | modifier le code]

Les séries considérées sont numériques (à termes réels ou complexes), ou vectorielles, à valeurs dans un espace vectoriel normé. On dit que la série de terme général a_n converge lorsque la suite (A_n)_{n\in\N} des sommes partielles converge, où pour tout entier naturel n,

A_n=\sum_{k=0}^n a_k

Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles

\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = \lim_{n\to +\infty} A_n

Si on modifie un nombre fini de termes d'une série, alors on ne change pas sa nature (convergence ou divergence). Bien sûr, si la série est convergente, changer ses premiers termes modifie sa somme.

Condition nécessaire, divergence grossière[modifier | modifier le code]

Si la série \sum_{n=0}^{+\infty}a_n est convergente, alors la suite (a_n)_{n\in\N} converge vers 0 puisque

\forall n \geq 1, \qquad a_n=A_n-A_{n-1}

Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente.

Exemple : \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n est une série grossièrement divergente

Convergence absolue[modifier | modifier le code]

Article détaillé : convergence absolue.

La convergence absolue fournit une condition suffisante très fréquemment utilisée de convergence pour les séries numériques. On dit que la série \sum a_n à termes réels ou complexes est absolument convergente lorsque la série de terme général |a_n| (valeur absolue d'un réel ou module d'un nombre complexe) est convergente. Et dans ce cas, la série \sum a_n elle-même converge.

Plus généralement, si \sum a_n est une série à termes dans un espace de Banach, on dit qu'elle est absolument convergente lorsque la série de terme général \|a_n\| est convergente. Et dans ce cas, la série \sum a_n elle-même converge.

Étudier la convergence absolue fournit ainsi une condition suffisante agréable, vu qu'on est ramené à l'étude de séries à termes positifs, pour lesquels existent de nombreux résultats spécifiques.

Séries de réels positifs[modifier | modifier le code]

Si tous les termes a_n sont des réels positifs, la série \sum a_n est dite à termes positifs. Pour une telle série, la suite des sommes partielles (A_n)\, est croissante. Elle est alors soit convergente, soit divergente de limite infinie.

Principe général : règles de comparaison[modifier | modifier le code]

Il est possible d'énoncer une règle de comparaison entre deux séries à termes positifs sur laquelle se basent les autres règles d'étude.

Si les séries ont des termes généraux a_n et  b_n positifs, avec en outre pour tout n, a_n\,\le b_n,

  • si la série de terme général b_n est convergente, la série de terme général  a_n converge ;
  • si la série de terme général a_n est divergente, celle de terme général  b_n diverge aussi.

Bien sûr effectuer la comparaison à partir d'un certain rang suffit.

On peut utiliser les relations de comparaison classiques entre suites (avec les notations de Landau) : si les termes généraux a_n et b_n sont positifs,

  • si a_n\sim b_n alors les séries \sum a_n et \sum b_n sont de même nature (règle des équivalents)
  • si la suite a_n est dominée par b_n (a_n=O(b_n)) et si \sum b_n converge, alors \sum a_n aussi
  • le même résultat vaut pour la négligeabilité a_n=o(b_n)

Ces critères ne peuvent être appliqués qu'à des séries à termes positifs. Par exemple les séries de terme général

u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt n} \qquad v_n =  \frac{(-1)^n}{\sqrt n} +\frac1n\sim u_n

sont, la première, convergente, et la seconde divergente.

Règles de convergence pour les séries à termes positifs[modifier | modifier le code]

Chacune de ces règles utilise le principe de comparaison précédent et est détaillée dans l'article correspondant.

Soit \sum u_n une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport \frac {u_{n+1}}{u_n} tend vers une limite L . Dans ces conditions la série : converge si L < 1\, ; diverge si L > 1\, ; si L = 1\, on ne peut pas conclure.

Il existe une règle de Raabe-Duhamel pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux (L=1).

Si les termes a_n\, sont strictement positifs et s'il existe une constante C < 1\, telle que (a_n)^{\frac{1}{n}} \le C , alors \sum a_n est convergente.

Si f\, est une fonction positive décroissante continue sur l'intervalle [1, \infty[, alors la série \sum f(n) et l'intégrale \int_{1}^{\infty} f(x)\, dx sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.

Autres méthodes[modifier | modifier le code]

Critère de Cauchy[modifier | modifier le code]

Une série à valeurs dans un espace de Banach est convergente si (et seulement si) ses sommes partielles forment une suite de Cauchy, c'est-à-dire : \forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall n\ge N\quad\forall p\in\N\quad\left\|u_{n+1}+\dots + u_{n+p}\right\|<\varepsilon.

Exemple : dans l'espace ℓp(ℕ) muni de sa base de Schauder canonique (δn)n∈ℕ, pour toute suite (λn)n∈ℕ de scalaires telle que ∑n∈ℕn|p < +∞, la série de terme général λnδn est inconditionnellement convergente, puisqu'elle et toutes ses permutées vérifient le critère de Cauchy et que l'espace est complet.

Règle de Leibniz pour les séries alternées[modifier | modifier le code]

Test de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : test de Dirichlet

Soient

  • (\alpha_n)_{n\in\N} une suite réelle décroissante qui tend vers 0 ;
  • (u_n)_{n\in\N} une suite complexe telle que pour un certain réel M : \forall n \in \N, \left| \sum_{k=0}^n u_k \right| \le M.

Alors \sum\alpha_nu_n est convergente.

Articles connexes[modifier | modifier le code]