Image directe

L'image directe d'un sous-ensemble $A$ de $X$ par une application $f:X\rightarrow Y$ est le sous-ensemble de $Y$ formé des éléments qui ont, par $f$, au moins un antécédent appartenant à $A$ :

$f(A) = \{f(x) / x \in A\}=\{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}$.

Exemples

• On définit en particulier l'image d'une application $f$ définie sur $X$ :

$\mathrm{Im}(f)=f(X)$.

• On se gardera bien de confondre l'image directe par $f$ d'une partie $A$ de $X$, avec l'image par $f$ d'un élément $x$ de $X$, ou avec l'image de l'application $f$.

• Considérons l'application ${}^{f:\{1, 2, 3\}\to\{a, b, c, d\}}$ définie par ${}^{1\mapsto a,~2\mapsto c,~3\mapsto d.}$ L'image directe de {2,3} par $f$ est $f$({2,3})={c,d} tandis que l'image de $f$ est {a,c,d}.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties $A_1$ et $A_2$ de $X$,

$f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2)$.

Plus généralement, pour toute famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de $X$,

$f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i)$.

• Pour toutes parties $A_1$ et $A_2$ de $X$,

$f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$.

L'inclusion dans l'autre sens est fausse si $f$ n'est pas injective. Considérons par exemple une application $f$ constante ($\mathrm{Im}(f)=\{c\}$) sur un ensemble possédant au moins deux parties disjointes non vides, $A_1$ et $A_2$. Alors ${}^{f\left(A_1 \cap A_2\right)=f(\varnothing)=\varnothing}$, tandis que ${}^{f(A_1)\cap f(A_2)=\{c\}\cap\{c\}=\{c\}}$.

Plus généralement, pour toute famille non vide $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de $X$,

$f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i)$.

• Pour toute partie $B$ de $Y$,

$f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)$

.

Démonstration

• Pour tout élément $y$ de $f(f^{-1}(B))$, il existe un élément $x$ de l'image réciproque $f^{-1}(B)$ (c'est-à-dire un élément $x$ de $X$ dont l'image $f(x)$ appartient à $B$) tel que $y=f(x)$, si bien que $y$ appartient à $\mathrm{Im}(f)$, mais aussi à $B$.
• Réciproquement, pour tout $y$ appartenant à la fois à $\mathrm{Im}(f)$ et à $B$, il existe au moins un élément $x$ de $X$ tel que $y=f(x)$, et un tel $x$ vérifie ${}^{f(x)\in B}$ c'est-à-dire ${}^{x\in f^{-1}(B)}$, donc son image $y$ appartient à $f(f^{-1}(B))$.

En particulier si $f$ est surjective alors $f(f^{-1}(B))=B$.

• Pour toute partie $A$ de $X$,

$A\subset f^{-1}(f(A))$.

En effet, ${}^{x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A))}$. En général on a seulement une inclusion et pas une égalité, car la réciproque de la première implication est fausse si $f$ n'est pas injective.

Articles connexes

• Image réciproque
• Théorie des ensembles