Image directe

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L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f : XY est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

f(A) = \{f(x)\mid x \in A\}=\{y \in Y\mid \exists a \in A, y=f(a)\}.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :
    \mathrm{Im}(f)=f(X).
  • On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f[1].
  • Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Pour toutes parties A_1 et A_2 de X,
     f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2).
    Plus généralement, pour toute famille \left(A_i\right)_{i\in I} de parties de X,
    f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i).
  • Pour toutes parties A_1 et A_2 de X,
     f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2).
    L'inclusion dans l'autre sens est fausse si f n'est pas injective. Considérons par exemple une application f constante (\mathrm{Im}(f)=\{c\}) sur un ensemble possédant au moins deux parties disjointes non vides, A_1 et A_2. Alors f\left(A_1 \cap A_2\right)=f(\varnothing)=\varnothing, tandis que f(A_1)\cap f(A_2)=\{c\}\cap\{c\}=\{c\}.
    Plus généralement, pour toute famille non vide \left(A_i\right)_{i\in I} de parties de X,
    f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i).
  • Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque f−1(B) ; plus précisément :
    f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f).
En particulier si f est surjective alors f(f−1(B)) = B.
  • Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :
    A\subset f^{-1}(f(A)).
    En effet,x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A)).En général on a seulement une inclusion et pas une égalité, car la réciproque de la première implication est fausse si f n'est pas injective.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Pour éviter toute confusion, Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions] , vol. 1, p. 8, parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent f*.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorie naïve des ensembles