Adhérence (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Adhérence.

En topologie, l'adhérence d'une partie d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé contenant cette partie. On retrouve cette notion particulièrement dans la convergence de suites dans les espaces métriques avec la notion de valeur d'adhérence.

Définitions

En topologie, l'adhérence d'une partie X d'un espace topologique E est le plus petit ensemble fermé de E qui contienne X.

L'existence d'un tel fermé est claire : il existe au moins un fermé contenant X, à savoir l'espace E lui-même ; d'autre part, l'intersection de tous les fermés contenant X est un fermé contenant X, et est le plus petit ayant cette propriété.

L'adhérence de X est aussi appelée fermeture de X et se note souvent X.

Un point x de E est dit adhérent à X lorsque tout voisinage de x rencontre X.

Caractérisations

Ensemble des points adhérents

Article détaillé : Point adhérent.

L'adhérence de X est égale à l'ensemble des points qui lui sont adhérents.

En effet :

• Si un point x de E n'appartient pas à X alors il appartient à l'ouvert E\X, donc cet ouvert est un voisinage de x (ne rencontrant pas X), si bien que x n'est pas adhérent à X.
• Réciproquement, si x n'est pas adhérent à X, il possède un voisinage qui ne rencontre pas X ; ce voisinage contient un ouvert U qui contient x. Le complémentaire de U dans E est alors un fermé qui contient X et donc qui contient X. Puisque x est dans U, x n'est pas dans X.

Intuitivement, l'adhérence d'une partie X contient tous les points de l'espace qui sont dans X ou qui sont trop près de X pour que l'on puisse y « bricoler » localement sans toucher à X.

Espaces métriques et suites

Dans un espace métrique E (la topologie est issue d'une distance sur l'espace considéré), l'adhérence d'une partie X de E est l'ensemble contenant toutes les limites de suites convergentes dans E et formées des éléments de X.

Exemples

Caractère archimédien de ℝ : l'ensemble ℝ des réels est l'adhérence de l'ensemble ℚ des rationnels. En effet, tout ouvert contenant un irrationnel contient un rationnel. Tout irrationnel est donc dans l'adhérence de ℚ.

L'adhérence d'un intervalle de ℝ est l'intervalle fermé de mêmes bornes : l'adhérence de ]–∞, a[ est l'intervalle ]–∞, a].

Assez souvent on parle de ℝ comme adhérence de ℝ, mais cette notion veut simplement dire qu'on étend la notion de convergence aux valeurs infinies : ainsi la suite des entiers converge dans ℝ vers +∞. Cela permet de donner un sens différent à la notion de divergence : ce qui diverge n'admet pas de limite, fût elle infinie. C'est le concept de droite réelle achevée.

Densité

Article détaillé : Densité (mathématiques).

On dit qu'une partie X d'un espace topologique E est dense lorsque son adhérence est l'espace E tout entier. Une telle partie se caractérise donc par le fait que tout ouvert non vide en contient un point.

Ainsi, le caractère archimédien de ℝ fait que ℚ est dense dans ℝ.

Un point x de E est dit dense si le singleton {x} est dense. On l'appelle parfois aussi point générique.

Intuitivement, les parties denses d'un espace sont donc des parties qui sont très grosses : on ne peut pas les éviter.

Pièges

Boules ouvertes et boules fermées

Article détaillé : Boule (topologie).

Dans un espace métrique quelconque, l'adhérence d'une boule ouverte est incluse dans la boule fermée de même centre et de même rayon mais l'inclusion peut être stricte. Il est vrai qu'on a égalité dans les espaces usuels comme les ℝⁿ avec la distance usuelle et plus généralement les espaces vectoriels normés pour la distance ║x – y║.

Néanmoins, c'est faux en général ; voyons l'exemple le plus simple : soit un ensemble E, avec au moins deux éléments. On définit une métrique dessus ainsi : la distance entre deux points distincts est 1. La boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est donc ce point. La boule fermée de rayon 1 centrée en un point est donc l'espace entier. L'adhérence de la boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est le point.

Si dans le cadre d'espaces vectoriels sur ℝ ou ℂ normés de dimension finie, les propriétés de l'adhérence restent assez intuitives, il faut aussi se méfier des caractéristiques des espaces de dimension infinie.

Intersections et réunions

• L'adhérence d'une intersection est incluse dans l'intersection des adhérences mais l'inclusion peut être stricte. Par exemple dans ℝ, l'adhérence de ]–∞, 0[∩]0, +∞[ = ∅ est ∅, tandis que l'intersection des adhérences est ]–∞, 0]∩[0, +∞[ = {0}.
• Une union d'adhérences est incluse dans l'adhérence de l'union mais l'inclusion peut être stricte. Par exemple dans ℝ, l'union de la suite de singletons {1/(n+1)} (fermés donc égaux à leurs adhérences) ne contient pas le point 0, qui est point adhérent. (Pour une union finie, on a cependant égalité.)

Un point, c'est petit

Article détaillé : Topologie cofinie.

Considérons l'ensemble ℕ des entiers naturels. On y définit une topologie (via des fermés) de la façon suivante :

• un ensemble fini d'entiers non nuls est fermé ;
• l'espace entier est fermé.

Dans ce cas, l'adhérence du singleton {0} est l'espace ℕ tout entier, ce qui signifie qu'on ne peut pas mettre le point 0 de côté pour travailler au voisinage d'un autre point. C'est un point dense/générique.

NB : en géométrie algébrique, ce genre de situation est très courant, car l'espace de base, le spectre d'anneau, vérifie souvent ce genre de propriétés ; en fait, cet exemple est homéomorphe à Spec(ℤ) par simple substitution des nombres premiers aux entiers non nuls.

Voir aussi

• Intérieur (notion duale de celle d'adhérence)
• Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe (le cas particulier des convexes)
• Valeur d'adhérence
• Opérateur de clôture
• Axiomes de Kuratowski