Anneau topologique

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En mathématiques, un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie compatible avec les opérations internes, c'est-à-dire telle que l'addition, l'application opposée[1] et la multiplication soient continues.

Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui rend continues l'addition, la multiplication et l'application inverse[2].

Ces structures étendent la notion de groupe topologique.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Tous les corps de nombres usuels (rationnels, réels, complexes, p-adiques) ont une ou plusieurs topologies classiques qui en font des corps topologiques. Il s'agit essentiellement des topologies induites par la distance usuelle ou la distance p-adique.
  • L'ensemble des applications d'un ensemble X vers un anneau topologique constitue un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple. Lorsque l'ensemble X est lui-même un espace topologique, le sous-anneau des fonctions continues est un anneau topologique pour la topologie compacte-ouverte.
  • Tout sous-anneau d'un anneau topologique est un anneau topologique pour la topologie induite.
  • Tout anneau muni de la topologie discrète ou de la topologie grossière constitue un anneau topologique.

Topologie I-adique[modifier | modifier le code]

Étant donné un anneau commutatif R et un idéal I de R, la topologie I-adique de R est définie par la base de voisinages en chaque point x de R de la forme : x + I^n, où n décrit tous les entiers naturels.

Cette topologie fait de l'anneau R un anneau topologique, qui est séparé si et seulement si l'intersection des puissances de l'idéal I est réduite à l'élément nul :

\bigcap_{n\in\N}I^n=\{0\}.

Dans ce cas, la topologie est métrisable par une distance ultramétrique définie de la manière suivante :

pour tous xy éléments de R,
d(x,y)=1/2^k
k est la plus grande puissance de l'idéal qui contient la différence x-y.

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est ainsi construite avec l'idéal I des multiples entiers de p.

Complétion d'un anneau métrisable[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un anneau topologique est métrisable, l'ensemble de ses suites de Cauchy forme lui aussi un anneau. Le quotient de cet anneau de suites par l'idéal des suites convergeant vers 0 constitue le complété de l'anneau (en) de départ.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. La continuité de l'application opposée est automatiquement vérifiée si l'anneau est unitaire.
  2. Il existe toutefois des anneaux topologiques qui sont des corps sans satisfaire cette dernière condition.