Clôture algébrique

En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L.

Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans la clôture algébrique de K.

Une clôture algébrique de K est également un corps algébriquement clos minimal (pour l’inclusion) contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K, alors les éléments de M, algébriques sur K, forment une clôture algébrique de K.

Une clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini.

En dehors du cas où K est séparablement clos (donc algébriquement clos en caractéristique nulle), entre deux clôtures algébriques de K il n'y a pas unicité d'isomorphismes. Il vaut donc mieux éviter l’expression « la clôture algébrique » et privilégier l’article indéfini « une » (une autre façon de le voir est qu’il n’existe pas de foncteur de la catégorie des corps dans elle-même qui envoie tout corps K sur une clôture algébrique de K).

Exemples

• D'après le théorème fondamental de l'algèbre, une clôture algébrique du corps des nombres réels est le corps des nombres complexes.
• Une clôture algébrique du corps des nombres rationnels est le corps des nombres algébriques.
• Une clôture algébrique d'un corps fini d'ordre premier p est un corps dénombrable. Pour tout entier naturel n non nul, il contient un et un seul sous-corps $\mathbb{F}_{p^n}$ d'ordre pⁿ, et il est égal à la réunion de tous ces sous-corps (ou plus savamment : leur limite inductive, avec $\mathbb{F}_{p^d}\subset\mathbb{F}_{p^n}$ si $d$ est un diviseur de $n$).
• Il existe des corps algébriquement clos dénombrables inclus dans le corps des nombres complexes, qui contiennent (strictement) le corps des nombres algébriques ; ce sont les clôtures algébriques des extensions transcendantes du corps des rationnels, comme par exemple la clôture algébrique de Q(π).

Théorème de Steinitz

1. Tout corps K possède une clôture algébrique.
2. Deux clôtures algébriques de K sont toujours reliées par un isomorphisme de corps laissant invariants les éléments de K.

La preuve peut se faire en utilisant le lemme de Zorn.

Démonstration

Existence Soit K un corps. On choisit un ensemble $\Omega$ qui est infini non-dénombrable si K est fini, et qui est de cardinal strictement supérieur à celui de K si ce dernier est infini. On considère l'ensemble des triplets (L, +, x) ave L un sous-ensemble de $\Omega$ contenant K, et +, x font de L une extension algébrique de K.

On définit une relation d'ordre (L, + , x) $\le$ (F, +, x) si L est contenu dans F et si la structure de corps sur L est induite par celle de F. Cela fait clairement l'ensemble des triplets ci-dessus un ensemble ordonné inductif. Il suit du lemme de Zorn qu'il admet un élément maximal F. Il reste à montrer que F est une clôture algébrique de K.

Soit E une extension algébrique de F. On note d'abord que comme F est algébrique sur K, il est de même cardinal que K ou (lorsque K est fini) est au plus dénombrable. Il en est de même pour E. Donc le complémentaire de F dans E est de cardinal inférieur à celui de $\Omega \setminus F$ (qui a le même cardinal que $\Omega$). Il existe donc une application injective de E dans $\Omega$ qui soit l'identité sur F. On munit son image de la structure de corps induite par celle E, et on obtient alors une extension algébrique de F. Par maximalité de F, cette image est égale à F. Donc E est égal à F et ce dernier est algébriquement clos.

Unicité à isomorphisme près: Soient $F_1, F_2$ deux clôtures algébriques de K. On considère les couples $(L, \rho)$ où L est une sous-K-extension de $F_1$ et où $\rho : L \to F_2$ est un K-homomorphisme de corps. L'ensemble de ces couples est non vide et est ordonné (de façon naturelle) inductif. Soit $(L, \rho)$ un élément maximal. Si a est un élément de $F_1$, on considère son polynôme minimal $P(x)\in L[x]$ sur L. Alors le polynôme $\rho(P(x))\in \rho(L)[x]$ admet une racine b dans $F_2$. Il existe un K-homorphisme $L[a]\to F_2$ qui vaut $\rho$ sur L et qui envoie a sur b. Par maximalité de $(L, \rho)$, on a $L[a]=L$, donc $L=F_1$. Comme $\rho(F_1)\subseteq F_2$ est algébriquement clos, on a $\rho(F_1)=F_2$. Donc $\rho$ est un K-isomorphisme de $F_1$ sur $F_2$.

ou (méthode d'Artin): par le théorème d'existence d'idéaux maximaux de Krull.

Théorème d'Artin-Schreier

La clôture algébrique de $\mathbb R$ est une extension finie de $\mathbb R$. On peut se demander plus généralement quels sont les corps possédant cette propriété.

Théorème (Artin-Schreier) Si K est un corps d'indice fini strictement plus grand que 1 dans sa clôture algébrique, alors K est un corps réel clos. En particulier, $K[\sqrt{-1}]$ est algébriquement clos.