Clôture algébrique

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En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une racine dans L.

Une clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme une extension algébrique maximale de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors une clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans la clôture algébrique de K.

Une clôture algébrique de K est également un corps algébriquement clos minimal (pour l’inclusion) contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K alors, parmi les éléments de M, ceux qui sont algébriques sur K forment une clôture algébrique de K.

Une clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini.

En dehors du cas où K est séparablement clos (donc algébriquement clos en caractéristique nulle), entre deux clôtures algébriques de K il n'y a pas unicité d'isomorphismes. Il vaut donc mieux éviter l’expression « la clôture algébrique » et privilégier l’article indéfini « une » (une autre façon de le voir est qu’il n’existe pas de foncteur de la catégorie des corps dans elle-même qui envoie tout corps K sur une clôture algébrique de K).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • D'après le théorème fondamental de l'algèbre, une clôture algébrique du corps des nombres réels est le corps des nombres complexes.
  • Une clôture algébrique du corps des nombres rationnels est le corps des nombres algébriques.
  • Une clôture algébrique d'un corps fini d'ordre premier p est un corps dénombrable. Pour tout entier naturel n non nul, il contient un et un seul sous-corps Fpn d'ordre pn, et il est égal à la réunion de tous ces sous-corps (ou plus savamment : leur limite inductive, avec FpdFpn si d est un diviseur de n).
  • Il existe des corps algébriquement clos dénombrables inclus dans le corps des nombres complexes, qui contiennent (strictement) le corps des nombres algébriques ; ce sont les clôtures algébriques des extensions transcendantes du corps des rationnels, comme celle de l'extension ℚ(π).

Théorème de Steinitz[modifier | modifier le code]

  1. Tout corps K possède une clôture algébrique.
  2. Deux clôtures algébriques de K sont toujours reliées par un isomorphisme de corps laissant invariants les éléments de K.

La preuve peut se faire en utilisant le lemme de Zorn.

ou (méthode d'Artin) : par le théorème d'existence d'idéaux maximaux de Krull.

Théorème d'Artin-Schreier[modifier | modifier le code]

La clôture algébrique de ℝ est une extension finie de ℝ. On peut se demander plus généralement quels sont les corps possédant cette propriété.

Théorème (Artin-Schreier)[1] — Si K est un corps d'indice fini strictement plus grand que 1 dans sa clôture algébrique, alors K est un corps réel clos. En particulier, K[–1] est algébriquement clos.

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Algebraic closure » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Serge Lang, Algebra, 2002 [détail des éditions], chap. VI, cor. 9.3