Corps algébriquement clos

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, un corps commutatif $K$ est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans $K$, admet (au moins) une racine dans $K$. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre.

Si $K$ est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans $K$ est scindé dans $K$, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans $K$ (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré.

Par exemple, le corps des nombres réels n'est pas algébriquement clos, parce que le polynôme $X^2 + 1$ n'a pas de racine réelle. Au contraire, le corps des nombres complexes est algébriquement clos : c'est le théorème fondamental de l'algèbre aussi connu sous le nom du théorème de d'Alembert-Gauss.

Tout corps $K$ a une clôture algébrique, qui est le plus petit corps algébriquement clos dont $K$ est un sous-corps. La clôture algébrique d'un corps donné est unique à $K$-isomorphisme (isomorphisme de corps laissant invariants les éléments de $K$) près. En particulier, le corps des nombres complexes est la clôture algébrique du corps des nombres réels et le corps des nombres algébriques est la clôture algébrique du corps des nombres rationnels.

Un corps fini $K$ ne peut être algébriquement clos. En effet, si $K =\{x_1,$…$,x_n\}$, le polynôme

$P = 1 + \prod_{i = 1}^n (X - x_i)$

n'admet aucune racine dans $K$ (il prend la valeur 1 en chaque élément de $K$).

Article connexe

Corps quasi-algébriquement clos