Espace de Hilbert

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Le concept mathématique d'espace de Hilbert, nommé d'après David Hilbert, généralise la notion d'espace euclidien. Il étend les méthodes de l'algèbre linéaire et de l'analyse des espaces euclidiens classiques (plan, de dimension deux, et espace à trois dimensions) à des espaces de dimension quelconque, finie ou infinie. Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire qui permet de mesurer des longueurs et des angles. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer les techniques de l'analyse mathématique.

Des espaces de Hilbert apparaissent fréquemment en mathématiques et en physique, essentiellement en tant qu'espaces fonctionnels de dimension infinie. Les premiers espaces de Hilbert ont été étudiés sous cet aspect pendant la première décennie du XXe siècle par David Hilbert, Erhard Schmidt et Frigyes Riesz. Ils sont des outils indispensables dans les théories des équations aux dérivées partielles, mécanique quantique, analyse de Fourier (ce qui inclut des applications au traitement du signal et le transfert de chaleur) et la théorie ergodique qui forme le fondement mathématique de la thermodynamique. John von Neumann forgea l'expression espace de Hilbert pour désigner le concept abstrait qui sous-tend nombre de ces applications. Le succès des méthodes apportées par les espaces de Hilbert menèrent à une époque très prolifique pour l'analyse fonctionnelle. En plus des espaces euclidiens classiques, les exemples les plus courants d'espaces de Hilbert sont les espaces de fonctions de carré intégrable, les espaces de Sobolev qui sont constitués de fonctions généralisées, et les espaces de Hardy de fonctions holomorphes.

L'intuition géométrique intervient dans de nombreux aspects de la théorie des espaces de Hilbert. Ces espaces possèdent des théorèmes analogues au théorème de Pythagore et à la règle du parallélogramme. En mathématiques appliquées, les projections orthogonales sur un sous-espace (ce qui correspond à aplatir l'espace de quelques dimensions) jouent un rôle important dans des problèmes d'optimisation entre autres aspects de la théorie. Un élément d'un espace de Hilbert peut être défini de manière unique par ses coordonnées relativement à une base de Hilbert, de façon analogue aux coordonnées cartésiennes dans une base orthonormale du plan. Quand cet ensemble d'axes est dénombrable, l'espace de Hilbert peut être vu comme un ensemble de suites de carré sommable. Les opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert sont semblables à des objets concrets : dans les « bons » cas, ce sont simplement des transformations qui étirent l'espace suivant différents coefficients dans des directions deux à deux perpendiculaires, en un sens qui est précisé par l'étude de leur spectre.

Définition et exemples[modifier | modifier le code]

Exemple introductif : l'espace euclidien de dimension 3[modifier | modifier le code]

Un des exemples les plus courants d'espace de Hilbert est l'espace euclidien de dimension 3, noté R3, muni du produit scalaire usuel. Le produit scalaire associe, à deux vecteurs \mathbf{x} et \mathbf{y} un nombre réel noté \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}. Si \mathbf{x} et \mathbf{y} ont pour coordonnées cartésiennes respectives (x_1,x_2,x_3) et (y_1,y_2,y_3), alors leur produit scalaire est :

\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.

Le produit scalaire satisfait aux propriétés suivantes :

  1. il est symétrique : pour tous vecteurs \mathbf{x} et \mathbf{y}, \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x}
  2. il est linéaire par rapport au premier argument : pour tous nombres réels a et b et tous vecteurs x_1, x_2, y, on a l'égalité (a x_1 + b x_2)\cdot y = a x_1 \cdot y + b x_2 \cdot y
  3. il est défini positif : pour tout vecteur \mathbf{x}, le produit \mathbf{x}\cdot \mathbf{x} est positif, et nul si et seulement si \mathbf{x} est égal au vecteur nul.

Le produit scalaire est intimement relié avec la géométrie euclidienne par la formule suivante, qui relie le produit scalaire de deux vecteurs \mathbf{x} et \mathbf{y} avec leurs longueurs (notées respectivement \|\mathbf{x}\| et \|\mathbf{y}\|) et l'angle \theta qu'ils forment :

\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.

Toute opération sur les vecteurs qui vérifie les trois propriétés ci-dessus est également appelée produit scalaire. Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est dit espace préhilbertien réel.

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien qui possède de plus une propriété d'analyse mathématique : il est complet, argument reposant sur les limites de suites de vecteurs dans cet espace.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet, c'est-à-dire un espace de Banach dont la norme ║·║ découle d'un produit scalaire ou hermitien 〈·, ·〉 par la formule

\| x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}.

C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan[modifier | modifier le code]

Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et seulement si sa norme vérifie l'égalité

\| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2 ( \| x\|^2 + \| y\|^2),

qui signifie que la somme des carrés des quatre côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales (règle du parallélogramme).

Ce théorème est dû à Maurice René Fréchet, John von Neumann et Pascual Jordan.

Identité de polarisation :

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'espace euclidienn muni du produit scalaire usuel.
  • L'espace hermitienn muni du produit hermitien usuel.
  • L'espace L2([a, b]) des fonctions de [a, b] à valeurs dans ℂ et de carré sommable avec la convention que deux fonctions égales presque partout sont égales (voir l'article espace Lp), muni de
    \langle f,g \rangle = \int_a^bf(x)\overline{g(x)}~\mathrm dx.
  • L'espace de suites ℓ2, constitué des suites (u_n)_{n \in\N} de nombres complexes telles que
    \sum_{n=0}^\infty|u_n|^2<+\infty,
    le produit hermitien de deux suites u et v étant par définition la somme de la série
    \sum_{n=0}^\infty u_n\overline{v}_n.

Classification[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Base hilbertienne.

Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base hilbertienne qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie.

Applications[modifier | modifier le code]

  • C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique.
  • En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

Références[modifier | modifier le code]

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Cours d'analyse — Jacques Harthong