Théorème du graphe fermé

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Le théorème du graphe fermé affirme que si E et F sont deux espaces de Banach, f une application linéaire de E dans F, alors f est continue si et seulement si le graphe de f est une partie fermée de $E \times F$.

Pour comprendre le sens du théorème du graphe fermé, notons les propositions :

1. élément $x_n$ converge vers un élément $x$ ;
2. élément $T x_n$ converge vers un élément $y$ ;
3. élément $T x = y$.

Pour démontrer qu'un opérateur $T$ est continu, on doit a priori montrer que $1.$ implique $2.$ et $3.$. Le théorème du graphe fermé prouve qu'il suffit en fait de montrer que $1.$ et $2.$ impliquent $3.$.

Ce théorème prouve en particulier qu'un opérateur non borné fermé qui est défini sur tout l'espace de départ est en fait un opérateur borné.

Démonstration

Le théorème du graphe fermé se démontre facilement à partir du théorème d'isomorphisme de Banach, qui est lui-même une conséquence immédiate du théorème de l'application ouverte.

D'abord, le graphe d'une application continue est toujours fermé (facile).

Réciproquement, soit $f : E \rightarrow F$ linéaire entre deux espaces de Banach E et F, supposons son graphe $\Gamma_f$ fermé. Alors $E\times F$ est un Banach et, comme f est linéaire, son graphe $\Gamma_f$ est un sous-espace vectoriel de $E\times F$, fermé par hypothèse, donc $\Gamma_f$ est aussi muni d'une structure d'espace de Banach. Considérons les projections $p_1 : \Gamma_f\rightarrow E$ et $p_2 : \Gamma_f\rightarrow F$ : ce sont des applications linéaires continues, et $p_1$ est bijective, donc $p_1^{-1}$ est continue par le théorème d'isomorphisme de Banach. Enfin, $f=p_2\circ p_1^{-1}$ est continue.

Voir aussi

• Théorème de Banach-Schauder