Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki
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Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach, et généralisé par Leonidas Alaoglu et Nicolas Bourbaki.
Si E est un espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire (en) V° de V, défini par
est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*.
La démonstration du théorème fait intervenir le théorème de Tykhonov, qui utilise l'axiome du choix.
Il résulte de ce théorème que si E est un espace vectoriel normé, la boule unité de E' (pour la norme de la topologie forte) est *-faiblement compacte.
Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible-* coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.
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Références [modifier]
- Walter Rudin, Analyse fonctionnelle [détail des éditions]
- Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
Voir aussi [modifier]
Lien externe [modifier]
Applications du théorème de Tykhonov aux espaces vectoriels normés sur le site les-mathematiques.net
