Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

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Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach, et généralisé par Leonidas Alaoglu et Nicolas Bourbaki.

Si E est un espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire (en) V° de V, défini par

V^\circ=\{\ell \in E'\mid \forall x \in V, |\ell(x)|\le1\},

est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*.

La démonstration du théorème fait intervenir le théorème de Tykhonov, qui utilise l'axiome du choix.

Il résulte de ce théorème que si E est un espace vectoriel normé, la boule unité de E' (pour la norme de la topologie forte) est *-faiblement compacte et par conséquent, une partie de E' est *-faiblement compacte si et seulement si elle est *-faiblement fermée et bornée en norme.

Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible-* coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Applications du théorème de Tykhonov aux espaces vectoriels normés sur le site les-mathematiques.net

Articles connexes[modifier | modifier le code]