Groupe topologique

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En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire lorsque la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues.

L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique.

Définition et propriété caractéristique

Définition —  Un groupe $(G,\star)$ muni d'une topologie est dit topologique lorsque les applications :

• $(x,y) \in G^2 \longmapsto x \star y$ ;
• et $x\in G \longmapsto x^{-1}$

sont continues.

Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul :

Théorème —  Un groupe $(G,\star)$ est un groupe topologique si et seulement si l'application

$(x,y) \in G^2 \longmapsto x \star y^{-1}$ ;

est continue.

Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.

Mesure de Haar

Sur tout groupe topologique localement compact et séparable, il existe une et une seule mesure (à coefficient multiplicateur près) invariante par la translation à gauche $\left( \, x \longmapsto y.x \right)$ : la mesure de Haar.

Exemples de base

Théorème — Tout sous-groupe de $(\R,+)$ est soit dense, soit de la forme $a\Z$, pour un unique $a\ge 0$.

Démonstration

Soit G sous groupe différent de {0}. On note G ⁺ l'ensemble (non vide et minoré) des éléments strictement positifs de G et a sa borne inférieure.

Si a = 0 alors pour tout ε>0, il existe un élément g de G tel que 0 < g < ε. Tout intervalle de longueur ε contient alors au moins un multiple entier de g et ce multiple appartient à G, donc G est dense.

Si a > 0 alors :

• a appartient à G. En effet, sinon, il existerait dans G une suite (g_n) strictement décroissante et de limite a, et (g_n − g_{n + 1}) serait alors une suite de G ⁺ convergeant vers 0, ce qui contredirait a > 0.
• $\scriptstyle \Z a\subset G$ car a appartient à G et G est stable par additions et opposés.
• $\scriptstyle G\subset\Z a$ car pour tout élément g de G, en notant n la partie entière de g / a on a $\scriptstyle na\le g<(n+1)a$, i.e. $\scriptstyle0\le g-na<a$. Comme par ailleurs g − na appartient à G, on en déduit (par définition de a) que g − na = 0, d'où $\scriptstyle g=na\in\Z a$.
• $\scriptstyle G=a\Z$ d'après les deux inclusions précédentes.

Le cercle S¹, qui peut être considéré comme le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 ou comme le groupe des rotations de centre fixé dans un plan euclidien. Tout sous-groupe de S¹ est soit fini soit dense.

Un exemple plus sophistiqué est $(\Z/2\Z)^\N$. Ce groupe est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. Pour le voir, on a besoin de la notion de produit infini d'espaces topologiques.

Quelques propriétés générales

• Dans un groupe topologique, les translations

$x\longmapsto a\star x\quad \mathrm{et} \quad x\longmapsto x\star a$

sont des homéomorphismes.

• La topologie est déterminée par la donnée des voisinages de l'élément neutre e.
• Un groupe topologique G est séparé si et seulement si le singleton {e} est fermé dans G. Également, G est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de e est réduite à {e}.

Démonstration

• si G est séparé alors c'est a fortiori un espace T1, c'est-à-dire que tous ses singletons sont fermés, en particulier le singleton {e}.
• Réciproquement, si {e} est fermé alors G est séparé puisque la diagonale de GxG est fermée, comme image réciproque de {e} par l'application continue qui à tout (x,y) associe x.y^-1.
• Si G est séparé alors c'est un espace T1, c'est-à-dire que l'intersection des voisinages de tout point x est réduite à {x}, en particulier pour x=e.
• Réciproquement, si l'intersection des voisinages de e est réduite à {e} alors {e} est égal à son adhérence donc fermé (donc, d'après ce qui précède, G est séparé). En effet, pour tout x adhérent à {e}, chaque voisinage de x contient e donc (par continuité de la translation) chaque voisinage de e contient x^-1, d'où x^-1=e, c'est-à-dire x=e.

• Si U est un ouvert et A une partie quelconque alors $\scriptstyle U\star A$ est un ouvert (puisque $\scriptstyle U\star A=\cup_{a\in A}U\star a$) et de même, $\scriptstyle A \star U$ est un ouvert.
• Tout groupe quotient G / H d'un groupe topologique G par un sous-groupe normal H est encore un groupe topologique, lorsque G / H est muni de la topologie quotient. De plus, G / H est séparé si et seulement si H est fermé.
• Un groupe topologique est naturellement muni de deux structures uniformes (à droite et à gauche) qui induisent sa topologie, et qui coïncident si le groupe est commutatif. Un groupe topologique séparé est par conséquent complètement régulier. Tout morphisme de groupes topologiques est uniformément continu pour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées.

Groupes linéaires

Dorénavant, nous omettrons le signe $\star$.

Une classe importante de groupes topoloqiques est formée par les sous-groupes du groupe linéaire GL(n,K), avec $K=\R$ ou $\C$. On les munit de la topologie induite par celle de End(Kⁿ).

Ces exemples sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie réels ou complexes. Ils ont en commun la propriété suivant : il existe un ouvert contenant l'élément neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

Topologie p-adique

Si (G, + ) est un groupe abélien et si (G_n) est une suite de sous-groupes de G telle que :

$G = G_0\supset G_1 \supset G_2\supset\ldots\supset G_n \supset\ldots$

alors la suite (G_n) induit une topologie sur G dans laquelle les voisinages de x sont les parties de G contenant un des ensembles x + G_n.

Si de plus l'intersection des G_n est réduite à {0} où 0 est l'élément neutre de G, le groupe est séparé.

Un cas particulier de groupe topologique de cette forme est le groupe muni de la topologie p-adique : si p est un entier naturel, la suite (G_n) est définie (en notation additive) par G_n = pⁿG.

Distance induite

On peut définir une distance sur (G, + ) muni de la topologie induite par (G_n) si l'intersection des G_n est bien réduite à {0} :

$d(x,y)=\frac1{2^k}$

où k est le premier entier tel que $x-y \notin G_k$ et

$d(x,y)=0~$ si pour tout entier k, x − y appartient à G_k.

Complété

Si (G, + ) est un groupe abélien séparé muni de la topologie déterminée par la suite (G_n), on peut définir dans G des suites de Cauchy. Une suite (x_n) est de Cauchy si et seulement si, pour tout voisinage V de 0, il existe un entier n tel que

$\forall m \geq n,\ x_m-x_n \in V.$

Sur cet ensemble de suites de Cauchy noté S_C(G) on peut définir une relation d'équivalence :

$(x_n) R (y_n) \Longleftrightarrow \lim (x_n-y_n)=0.$

Le groupe quotient S_C(G) est alors un espace complet. Le groupe G est alors isomorphe à un sous-groupe dense de S_C(G).

L'exemple le plus important d'une telle construction est celui des nombres p-adiques : on fait cette construction à partir de $\Z$ et de la multiplication par un nombre premier p.

Cette construction du complété se généralise, dans le cadre uniforme, à tout groupe topologique abélien séparé.

Voir aussi

Articles connexes

• Groupe compact
• Représentation d'un groupe topologique
• Groupe profini

Bibliographie

• Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions]
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], ch. 4
• Roger Godement, Introduction à la théorie des groupes de Lie, Springer, 2004 (ISBN 978-3-540-20034-5), ch. 1 et 2