Sous-espace vectoriel

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En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un sous-espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Autrement dit, cette partie doit vérifier :

• La somme vectorielle de deux vecteurs de F appartient à F ;
• La multiplication d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.

Ces conditions imposent à ce que le vecteur nul appartienne à F. Muni des lois induites, F est un K-espace vectoriel. l'espace nul $\{0\}$ et l'espace total $E$ sont respectivement les plus petit et plus grand sous-espaces vectoriels de E. En général, une réunion finie de sous-espaces vectoriels n'est pas stable par combinaisons linéaires. Cependant, étant donnée une famille $(F_i)_{i\in I}$ de sous-espaces vectoriels de E, son intersection est un sous-espace vectoriel de E. La somme de la famille $(F_i)_{i\in I}$ est le plus petit sous-espace contenant tous les F_i.

Définition équivalente

Le sous-ensemble F est un $\mathbb K$-sous-espace vectoriel de E si et seulement si :

• $F \subset E$
• $F \neq \emptyset$ ;
• $\forall u,v \in F, \ u + v \in F$ ;
• $\forall \lambda \in \mathbb{K} , \ \forall u \in F , \ \lambda u \in F$.

Ceci équivaut à :

• $F \subset E$
• $F \neq \emptyset$;
• $\forall u,v \in F, \forall \lambda,\beta \in \mathbb{K}, \ \lambda u + \beta v \in F$.

En d'autres termes, F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires.

Nota : dans tout espace vectoriel E non réduit à $\ \{0\}$, il y a au moins deux sous-espaces vectoriels. Ce sont $\ \{0\}$ et E lui-même : on les appelle les deux sous-espaces vectoriels triviaux.

Remarque 1 : un sous-espace vectoriel F de E contient nécessairement le vecteur nul $\ 0_E$ de E (en effet, comme F est non vide, il existe au moins un élément $\ u_0$ de F ; alors, pour tout $\ \lambda$ dans $\ \mathbb{K}$, $\lambda u_0$ appartient à F ; le choix $\ \lambda = 0$ donne $0_E = 0 \cdot u_0 \in F$).

C'est pourquoi, lorsqu'il s'agit de montrer qu'un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E, on vérifie souvent que F ne soit pas vide en s'assurant qu'il contient le vecteur nul (s'il ne le contient pas, il y a immédiatement contradiction).

Remarque 2 : lorsque E n'est pas réduit à $\ \{0\}$, on définit dans l'ensemble $G = E \setminus \{0_E\}$ une relation d'équivalence R qui consiste à dire que deux éléments V et W sont liés par R s'il existe un élément k non nul du corps commutatif K tel que W = k V. Alors P, l'ensemble quotient de G par R, a une structure très riche d'espace projectif.

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient $F_1\quad$ et $F_2\quad$ deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

• $F_1 \cap F_2$ est un sous-espace vectoriel de E .

Plus généralement, toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, c'est-à-dire que : pour toute famille $(F_i)_{i\in I}$ de sous-espaces vectoriels de $E$, $\cap_{i\in I}F_i$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Union de sous-espaces vectoriels

Dans le cas général, la structure de sous-espace vectoriel n'est pas stable par l'union. Il existe deux propositions traitant ce cas.

• E est ici de dimension finie, et son corps associé est de cardinal infini. Si $(F_i)$ est une famille finie de sous-espaces vectoriels de E et tous différents de E, alors l'union de la famille $(F_i)$ est différente de E.

• Si $(F_i)$ est une famille de sous-espaces vectoriels de E telle que l'union de deux éléments de cette famille soit toujours incluse dans un troisième élément de la famille, alors l'union de la famille $(F_i)$ est un sous-espace vectoriel de E.

Démonstration

E est ici de dimension finie et son corps associé est de cardinal infini. Si $(F_i)$ est une famille finie de sous-espaces vectoriels de E et tous différents de E, alors l'union de la famille $(F_i)$ est différente de E.

Soit f_i, une forme linéaire non nulle qui s'annule sur $F_i$. Considérons alors la fonction $\phi$ de E dans son corps définie par:

$\forall x \in E \quad \varphi(x)=\prod_i f_i(x)$

Cette fonction est polynomiale, en autant de variables que la dimension de E, en les coordonnées de x si x est exprimé dans une base de E. Comme l'anneau des polynômes à plusieurs variables sur un corps est intègre, et que $\phi$ est le produit de polynômes non nuls, $\phi$ est non nulle. Il existe donc un vecteur de E ayant une image non nulle par $\phi$, ce vecteur n'est dans aucun sous-espace vectoriel de la famille.

Si $(F_i)$ est une famille de sous-espaces vectoriels telle que l'union de deux éléments de cette famille soit toujours incluse dans un troisième élément de la famille, alors l'union est un sous-espace vectoriel.

L'union est non vide. Il est clair qu'elle est stable pour le produit externe, car cette propriété s'applique à toute union de sous-espaces vectoriels. Elle est aussi stable par addition car l'union de deux éléments de cette famille est toujours incluse dans un troisième élément de cette famille. Le résultat est ainsi démontré.

Somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels

Définition

Soient $F_1\quad$ et $F_2\quad$ deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

$F_1 + F_2 = \left\{x \in E \;|\; \exists x_1 \in F_1, \exists x_2 \in F_2, x = x_1 + x_2\right\}$.

Propriété et définition

• $F_1 + F_2\quad$ est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1 \quad$ et $F_2\quad$. On l'appelle somme de $F_1\quad$ et $F_2\quad$.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1 \quad$ et $F_2\quad$, alors $F_1 + F_2 \subset F$.

C'est pourquoi on dit que $F_1 + F_2\quad$ est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant $F_1 \cup F_2$. Cela équivaut à :

• $F_1 + F_2\quad$ est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant $F_1 \cup F_2$.

Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient $F_1, F_2, \dots, F_m$ m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

$\sum_{i = 1}^m F_i = \left\{x \in E \;|\; \exists (x_1, x_2, \dots, x_m) \in F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_m, x = x_1 + x_2 + \cdots + x_m\right\}$.

C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels $F_1, F_2, \dots, F_m$ (si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe).

Dès lors :

• $\sum_{i = 1}^m F_i$ est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1, F_2, \dots, F_m$. On l'appelle somme de ces sous-espaces.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois $F_1, F_2, \dots, F_m$, alors $\sum_{i = 1}^m F_i \subset F$.

On dit de même que $\sum_{i = 1}^m F_i$ est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant $F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_m$.

Sous-espace vectoriel engendré

Définition

Soit A une partie quelconque de E.

• Si A est non vide, on définit le sous-ensemble suivant de E :

$\mbox{Vect}(A) = \left\{ \sum_{i=1}^n {\lambda}_i x_i \;\bigg|\; n \in \mathbb{N}^\star, {\lambda}_i \in \mathbb K, x_i \in A \right\}$.

(ainsi, $\mbox{Vect}(A)$ est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).

• On complète cette définition en posant $\mbox{Vect}(\emptyset) = \{0_E\}$.

Propriété 1

Soit A une partie de E.

• L'ensemble $\mbox{Vect}(A)$ est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors $\mbox{Vect}(A) \subset F$.

C'est pourquoi on dit que $\mbox{Vect}(A)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A.

On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A.

• Le sous-espace vectoriel engendré par A est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

Nota : considérons l'application $\varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E), A \mapsto \mbox{Vect}(A)$, où $\mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de E.

On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :

• L'application $\varphi$ est croissante : si $A \subset B$, alors $\mbox{Vect}(A) \subset \mbox{Vect}(B)$.
• L'application $\varphi$ est extensive : $A \subset \mbox{Vect}(A)$.
• L'application $\varphi$ est idempotente :$\mbox{Vect}((\mbox{Vect}(A)) = \mbox{Vect}(A)$

On dit alors que $\varphi$ est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de $\varphi$ :

• Pour qu'une partie A de E soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que $\mbox{Vect}(A) = A$.

Propriété 2

Soient A et B deux parties de E. Alors :

• $\mbox{Vect}(A) + \mbox{Vect}(B) = \mbox{Vect}(A \cup B)$

Espace vectoriel fini

Article détaillé : Espace vectoriel fini.

Soit K un corps fini de cardinal q, et soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n sur K. Alors l'ensemble E est fini de cardinal qⁿ. Il possède un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Le nombre de sous-espaces de dimension k vaut

$\frac{(q^n-1)(q^{n}-q)\dots (q^{n}-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^{k}-q)\dots (q^k-q^{k-1})}$.

Cette quantité est le quotient du nombre de familles libres à k éléments de E par le nombre des bases dans un K-espace vectoriel de dimension k.

Démonstration

Etant de dimension n sur K, l'espace E est de cardinal qⁿ. Il possède donc exactement qⁿ-1 vecteurs non nuls. Il y a Or deux vecteurs v et w engendrent la même droite vectorielle ssi v et w sont colinéaires. Il y a q-1 vecteurs non nuls de E colinéaires à un vecteur non nul fixé. Le nombre de droites vectorielles de E est donc

• $\frac{q^n-1}{q-1}=1+q+\dots+q^{n-1}$.

Si $\mathcal L$ est une famille libre de E, alors $(\mathcal L, v)$ est libre ssi v n'appartient pas au sous-espace vectoriel F engendré par $\mathcal L$. Si k est le nombre de vecteurs de $\mathcal L$, la dimension de F est q^k. Par récurrence, le nombre de famille libre à k vecteurs de E est :

• $(q^n-1)(q^{n}-q)\dots (q^{n}-q^{k-1})$.

Il s'en suit que le nombre de bases d'un K-espace vectoriel de dimension k est

• $(q^k-1)(q^{k}-q)\dots (q^k-q^{k-1})$.

On en déduit résultat.