Sous-espace vectoriel

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En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par :

  • la somme de deux vecteurs de F appartient à F ;
  • le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.

Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace de E. La réunion d'une famille non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le sous-espace engendré par cette réunion est la somme de cette famille.

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel sur un corps K.

Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si[1] :

  1. (F, +) est un sous-groupe additif de (E, +) ;
  2. le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.

En effet, la condition 1, plus forte que la condition « F est non vide et stable par sommes », lui est équivalente en présence de la condition 2 car cette dernière entraîne que F est stable par opposés (si uF alors –u = (–1)∙uF).

Une caractérisation intermédiaire donc également équivalente[2] est :

Une partie de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si elle contient le vecteur nul 0E et elle est stable par combinaisons linéaires.

Par ailleurs, la stabilité par combinaisons linéaires possède des formulations équivalentes à celle du résumé introductif, comme \forall u,v\in F,\forall\lambda,\mu\in K,~\lambda u+\mu v\in F ou encore \forall u,v\in F,\forall\lambda\in K,~\lambda u+v\in F.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriété essentielle[modifier | modifier le code]

Pour tout sous-espace vectoriel F d'un espace E, la stabilité par combinaisons linéaires permet de restreindre (au départ et à l'arrivée) les deux lois d'espace vectoriel de E en deux applications + : F×FF et ∙ : K×FF. Muni de ces deux applications,

F est automatiquement, comme E, un espace vectoriel.

En effet, (F, +) est un (sous-)groupe et tous les autres axiomes d'espace vectoriel (comme la commutativité de +) restent vrais dans F par restriction car ils ne font intervenir que des quantificateurs universels ∀.

Ceci permet de démontrer à peu de frais qu'une structure donnée est un espace vectoriel : il suffit de vérifier qu'elle est un sous-espace d'un espace déjà connu. Par exemple, les polynômes à coefficients dans K forment un espace vectoriel, comme sous-espace K(ℕ) de l'espace K des suites (en identifiant tout polynôme à la suite, nulle à partir d'un certain rang, de ses coefficients).

Dimension[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Dimension d'un espace vectoriel et Codimension.

Pour tout sous-espace F de E on a :

  • dim(F) ≤ dim(E) ;
  • si E est de dimension finie et si dim(F) = dim(E), alors F = E[3]. Cette implication devient fausse en dimension infinie.

Intersection de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors F1F2 est un sous-espace vectoriel de E.

Plus généralement, pour toute famille non vide (Fi)iI de sous-espaces vectoriels de E, l'intersection ⋂iI Fi est un sous-espace vectoriel de E[4].

Union de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

La réunion de deux sous-espaces n'est un sous-espace que lorsque l'un des deux sous-espaces est inclus dans l'autre. En effet, dans le cas contraire, cette réunion n'est pas stable par addition.

Pour que la réunion d'une famille non vide (finie ou infinie) de sous-espaces soit un sous-espace, il est suffisant (mais bien sûr pas nécessaire) que la famille soit filtrante, c'est-à-dire que l'union de deux éléments quelconques de la famille soit incluse dans un élément de la famille.

Si un K-espace vectoriel E est réunion d'une famille finie de sous-espaces différents de E, alors le corps K est fini[5].

Somme de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Leur somme F1 + F2, définie par F_1+F_2=\{x_1+x_2\mid x_1\in F_1,x_2\in F_2\}, coïncide avec le sous-espace engendré par F1F2.

Plus généralement, la somme ∑iI Fi d'une famille non vide (Fi)iI de sous-espaces vectoriels de E, définie comme l'ensemble vecteurs x de E qui admettent au moins une décomposition de la forme x = ∑iI xi avec xiFi (tous nuls sauf un nombre fini), est égale au sous-espace engendré par la réunion des Fi.

Si de plus cette décomposition de tout vecteur de ∑iI Fi est unique, la somme est dite directe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966, chap. 10, § 3, p. 168 : « Sous-modules, sous-espaces vectoriels ».
  2. On peut aussi démontrer cette équivalence directement : si une partie est stable par combinaisons linéaires et contient un vecteur u, alors elle contient aussi le vecteur 0∙u = 0E.
  3. (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], proposition 3.20, p. 93.
  4. Artin 1991, Exercice 1.2, p. 104.
  5. Un résultat similaire en algèbre commutative est le lemme d'évitement des idéaux premiers.

Articles connexes[modifier | modifier le code]