Anneau sans diviseur de zéro

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En théorie des anneaux, un anneau sans diviseur de zéro (en anglais domain) est un anneau unitaire dans lequel un produit est nul seulement si l'un des facteurs est nul, autrement dit si l'implication suivante est vérifiée[1] :

ab=0 \Rightarrow (a=0\ \mathrm{ou}\ b=0).

En d'autres termes, c'est un anneau dans lequel il n'y a aucun diviseur de zéro (ni à droite, ni à gauche).

Certains auteurs exigent également que la condition 1 ≠ 0 soit remplie[2] ou, ce qui revient au même, que l'anneau ait au moins deux éléments[3].

Un anneau commutatif sans diviseur de zéro qui vérifie en outre la condition 1 ≠ 0 est appelé un anneau intègre[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) César Polcino Milies et Sudarshan K. Sehgal, An Introduction to Group Rings, Dordrecht, Springer,‎ 2002, relié (ISBN 978-1-4020-0238-0, LCCN 2001050674), p. 65.
  2. (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra I, Mineola, Dover,‎ 2009, 2e éd., poche (ISBN 978-0-486-47189-1, LCCN 2009006506), p. 90, Section 2.2.
  3. (en) Charles Lanski, Concepts in Abstract Algebra, Belmont, AMS Bookstore,‎ 2005 (ISBN 978-0-534-42323-0, OCLC 57641629, LCCN 2004105799), p. 343, Définition 10.18.
  4. (en) Louis Halle Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields, Wellesley, A K Peters,‎ 1994 (ISBN 978-1-56881-028-7, LCCN 93039371), p. 99.