Théorème de Pythagore

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Triangle rectangle et relation algébrique entre les longueurs de ses côtés.
Relation entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si les mathématiciens grecs en connaissaient probablement une démonstration avant Euclide, auteur dans ses Éléments de la plus ancienne qui nous soit parvenue, rien ne permet de l'attribuer à Pythagore. Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures.

Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.

Divers autres énoncés généralisent le théorème à des triangles quelconques, à des figures de plus grande dimension telles que les tétraèdres, ou en géométrie non euclidienne comme à la surface d’une sphère.

Vocabulaire et énoncés

Un triangle rectangle est un triangle admettant un angle droit (c’est-à-dire de mesure 90°, ou encore \pi/2 radians).

Les deux côtés adjacents sont appelés cathètes et le côté opposé est l’hypoténuse.

Théorème

Triangle rectangle muni de carrés formés sur chacun de ses côtés.
Une version géométrique du théorème : l’aire du grand carré violet est la somme des aires des deux autres carrés.

La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante :

Théorème de Pythagore — Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

En particulier, la longueur de l’hypoténuse est donc toujours supérieure à celle de chaque autre côté.

Le terme « longueur » est parfois omis, chaque côté étant assimilé à sa longueur. Toutefois l’élévation au carré (algébrique), qui n’a de sens que pour une grandeur numérique comme la longueur, correspond à la construction d’un carré (géométrique) sur chaque côté du triangle. Certaines démonstrations du théorème s’appuient d’ailleurs sur une égalité d’aires entre le carré construit sur l’hypoténuse et la réunion des carrés construits sur les deux autres côtés.

En nommant les sommets du triangle, le théorème peut se reformuler dans l’implication suivante :

Théorème de Pythagore — Si un triangle ABC est rectangle en C, alors AB^2 = AC^2 + BC^2.

Avec les notations usuelles AB = c, AC = b et BC = a (cf. figure ci-dessous), la formule s’écrit encore : a^2+b^2 = c^2.

Triangle ABC rectangle en C avec les notations AB=c, AC=b et BC=a.

Par contraposée :

Théorème — Si AB^2 n’est pas égal à AC^2 + BC^2 alors le triangle n’est pas rectangle en C.

Réciproque

L’implication réciproque est également vraie :

Réciproque du théorème de Pythagore — Si AB^2 = AC^2 + BC^2 alors le triangle ABC est rectangle en C.

Pour une formulation sans notations des sommets, il faut éviter d’utiliser le terme « hypoténuse », qui n’est pas d’usage pour un triangle quelconque.

Réciproque du théorème de Pythagore — Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté, et le plus grand côté de ce triangle est son hypoténuse.

Par contraposée de la réciproque :

Théorème — Si un triangle ABC n’est pas rectangle en C, alors AB^2 n’est pas égal à AC^2 + BC^2.

La réciproque se déduit du théorème lui-même et d'un cas d'« égalité » des triangles : si on construit un triangle rectangle en C de sommets A, C et B', avec CB' = CB, on a AB = AB' par le théorème de Pythagore, donc un triangle isométrique au triangle initial (les 3 côtés sont 2 à 2 de même longueur). L'angle en C du triangle initial ABC, identique à celui du triangle AB'C, est donc droit.

Triplets pythagoriciens

Quand trois nombres entier vérifient la même relation que celle donnée par le théorème de Pythagore pour les côtés d'un triangle rectangle, c'est-à-dire que le carré du plus grand est la somme des carrés des deux autres, on les nomme « triplets pythagoriciens ». Le plus simple et le plus connu est le triplet (3,4,5) : 32 + 42 = 52. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les longueurs des côtés sont multiples de (3, 4, 5) est rectangle.

Article détaillé : triplet pythagoricien.

Applications

Arpentage

Triangle de dimensions 3-4-5 avec les côtés gradués par des points symbolisant les nœuds d’une corde.
Corde à treize nœuds (le dernier superposé au premier) disposée en triangle rectangle.
3^2+4^2 = 9+16\,
5^2 = 25\,
Vérification de la relation pour un triangle de longueurs de côté 3, 4 et 5.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, si un triangle a des côtés de longueurs 3, 4 et 5 (par rapport à une unité quelconque) alors il est rectangle.

Ce cas particulier de triplet pythagoricien justifie l’usage de la corde à treize nœuds, qui permettait de mesurer des distances mais aussi d’obtenir un angle droit sans équerre rigide en répartissant les douze intervalles qui séparent les nœuds sur les trois côtés d’un triangle de dimensions 3 - 4 - 5.

Nature d'un triangle

Le théorème (ou plutôt sa contraposée) et sa réciproque montrent que la relation donnée entre les longueurs des côtés est une propriété caractéristique des triangles rectangles, ce qui permet de l’utiliser comme test dans la détermination de la nature d’un triangle :

  • si AB^2 = AC^2 + BC^2 alors le triangle est rectangle en C ;
  • si AB^2 n’est pas égal à AC^2 + BC^2 alors le triangle n’est pas rectangle en C.

En effectuant le test pour le sommet opposé au plus grand côté du triangle (seul sommet susceptible d'abriter l'angle droit), on peut déterminer si le triangle est rectangle ou non à partir des longueurs de ses côtés.

Distance euclidienne

L'égalité cos2 α + sin2 α = 1 comme cas particulier du théorème de Pythagore.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la distance entre deux points s’exprime en fonction de leurs coordonnées cartésiennes à l’aide du théorème de Pythagore par :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.

Cette formule est analogue à celle qui donne la norme d’un vecteur de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée :

\lVert\vec u\rVert = \sqrt{x^2+y^2}.

Ces formules se généralisent en dimension plus grande.

Relation trigonométrique

En considérant le cosinus et le sinus d’un angle α comme l'abscisse et l'ordonnée d’un point du cercle trigonométrique repéré par cet angle, et le rayon du cercle trogonométrique de longueur = 1 comme l'hypoténuse, le théorème de Pythagore permet d’écrire la relation suivante :

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha=1.~

Histoire

Tablette munies d’inscriptions cunéiformes disposées en lignes.
La tablette Plimpton 322, datant d'environ 1800 av JC, donne une liste de nombres disposées en colonnes avec des entêtes, deux des colonnes correspondent à l'hypoténuse et au plus petit côté d'un triangle rectangle, ainsi que l'annoncent les entêtes[1].

Pythagore vivait au VIe siècle av. J.-C., mais l'histoire du théorème de Pythagore commence plus d'un millénaire auparavant, comme en témoignent plusieurs tablettes d'argile de l'époque paléo-babylonienne[2]. Il n'y a en fait aucune évidence archéologique que l'on puisse remonter plus avant, mêmes si quelques hypothèses existent.

Ainsi les travaux d'Alexander Thom, qui imagine une organisation de sites mégalithiques datant du XXVe siècle av. J.-C. en Grande-Bretagne et en France utilisant triangles rectangles et triplets pythagoriciens, sont fortement contestés[3]. L'hypothèse parfois avancée que le théorème aurait été connu de l'Égypte ancienne dès le Moyen Empire paraît elle aussi difficile à établir[4].

Mésopotamie

Illustration d'un problème posé (sans cette illustration) à l'époque paléo-babylonienne sur la tablette d'argile BM 85196 (entre -2000 et -1600), et que l'on peut poser ainsi : une perche de longueur 30 unités est posée verticalement contre un mur, l'extrémité haute glisse verticalement vers le bas de 6 unités, de combien l'extrémité basse glisse-t-elle horizontalement ? La « règle de Pythagore » donne la solution à savoir 302 -(30-6)2 = 18 unités[5]. On retrouve plus tard ce problème de la perche ou du roseau posé contre un mur sur les papyrus égyptiens de l'époque ptolémaïque, les tablettes séleucides[6]. Il devient un classique des mathématiques arabes[7], et on le pose encore de nos jours[6].

Les historiens des mathématiques et assyriologues[8] ont découvert à la fin des années 1920 que s'était forgée en Mésopotamie (l'ancien Irak), à l'époque paléo-babylonienne une culture mathématique dont l'objet n'était pas purement utilitariste[9].

Plusieurs des tablettes d'argiles qui ont été retrouvées et analysées montre que la relation entre les longueurs des côtés du rectangle et celle de sa diagonale (soit entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle) était connue[10] et utilisée pour résoudre des problèmes calculatoires[11]. La tablette Plimpton 322 datant de vers -1800 donne une liste de nombres associés à des triplets pythagoriciens, soit des entiers (a, b, c) satisfaisant la relation a2 + b2 = c2. La tablette ne donne que deux nombres du triplet, mais les associe explicitement au plus petit côté et à la diagonale d'un rectangle[1].

Il n'y a pas trace de l'énoncé d'un théorème, et les historiens préfèrent souvent utiliser un autre mot, certains parlent par exemple de « règle de Pythagore »[12]. Ni celle-ci ni le principe qui la sous-tend ne sont explicitement énoncés non plus, mais les exemples montrent bien qu'une règle générale est connue[13].

La datation et l'origine exacte des tablettes d'argile n'est pas toujours évidente, beaucoup de celles-ci ont été achetées sur le marché des antiquités comme la tablette Plimpton 322, mais les historiens peuvent s'appuyer sur des éléments linguistiques, et les similarités avec celles dont l'origine est connue, ayant été obtenues par des fouilles archéologiques régulières. Les traces que l'on a des cultures antérieures rendent peu vraisemblable la découverte de la « règle de Pythagore », avant -2300, celle-ci pourrait apparaître entre -2025 et -1825[14].

Inde

En Inde, un énoncé du théorème, sous sa forme la plus générale, apparait dans l'Apastamba (en), l'un des Sulbasutras (en), ces traités du cordeau qui codifient les règles des constructions destinées aux rituels védiques. Ceux-ci ont été rédigés entre le VIIIe et le IVe siècle avant notre ère (par ailleurs certains triplets pythagoriciens sont mentionnés dans des textes bien antérieurs). Les Sulbasutras parlent du rectangle et de sa diagonale, plutôt que de triangle[15].

Chine

Le théorème apparait également en Chine dans le Zhoubi suanjing (en) (« Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou »), un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois[16]. Ce dernier, écrit probablement durant la dynastie Han (-206 à 220), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (Xe siècle av. J.-C. à -256). Le théorème ou procédure s’énonce de la manière suivante :

« En réunissant l’aire (mi) de la base (gou) et l’aire de la hauteur (gu) on engendre l’aire de l’hypoténuse. »

Mais la question se pose de savoir si ce théorème – ou cette procédure – était muni ou non d’une démonstration. Sur ce point les avis sont partagés(Chemla et Shuchun 2005, p. 681). Le théorème, sous le nom de Gougu (à partir des mots « base » et « altitude »), est repris dans le Jiuzhang suanshu (Les neuf chapitres sur l'art mathématique, -100 à 50), avec une démonstration, utilisant un découpage et une reconstitution, qui ne ressemble pas à celle d’Euclide et qui illustre l'originalité du système démonstratif chinois[17].

Égypte ancienne

Aucun texte connu de l'Égypte antique ne permet d'attribuer aux égyptiens une connaissance en rapport avec le théorème de Pythagore, avant un papyrus écrit en démotique, généralement daté de vers -300 qui mentionne trois triplets pythagoriciens[18]. Ceci peut tenir à la fragilité du support employé : peu de textes mathématiques de l'Égypte antique nous sont parvenus. Mais le plus notable d'entre eux, le Papyrus Rhind, une copie effectuée vers -1650 d'un document datant de -1800, apparait comme une somme des connaissances mathématiques de l'époque. Or ni triplets pythagoriciens, ni rien en rapport avec le théorème, n'y apparaissent, ce qui laisse penser qu'il est ignoré à ces dates[19].

Il n'est cependant pas impossible que le triangle rectangle 3-4-5, celui dont les côtés correspondent au triplet pythagoricien le plus simple, soit connu en Égypte dès une époque assez ancienne. Plutarque décrit (à la fin du premier siècle de notre ère) une interprétation symbolique religieuse du triangle[20]. Mais à l'époque de Plutarque le syncrétisme religieux a cours dans l'Égypte sous domination romaine, après avoir été gouvernée par les Ptolémées, et il est délicat de déterminer l'origine de cette interprétation, encore plus de la dater[21].

L'hypothèse de l'utilisation en architecture du triangle 3-4-5 obtenu en utilisant des cordes, éventuellement pourvues de nœuds espacés régulièrement, et tendues en particulier pour tracer des angles droits, est pour le moins discutée[22],[23]. Les faces de la pyramide de Khephren ont une pente de 4/3, mais il existe des explications simples pour leur construction, qui ne supposent pas la connaissance du triangle correspondant[24]. Pour les tracés horizontaux, au vu de ce que l'on sait des cordes disponibles à l'époque et de leur élasticité, la précision de la méthode ne parait pas compatible avec celle des constructions de grande dimension de l'Égypte antique[25], mais pourrait fonctionner pour des salles ou des édifices de plus petite dimension[26]. Ainsi le tracé d'une voûte elliptique datant de la XXe dynastie découvert par Georges Daressy correspond à une ellipse dont le foyer, le centre et une intersection avec le petit axe, forment un triangle 3-4-5. Par ailleurs une ellipse peut, elle-même, se tracer facilement à l'aide d'une corde tendue[27].

Il reste que la connaissance de ce que le triangle 3-4-5 est droit, même si elle n'a rien d'invraisemblable, n'attesterait de toute façon nullement que les carrés des côtés aient été comparés, encore moins de la connaissance du théorème de Pythagore[28].

Les grecs : de Pythagore à Euclide

Le théorème, accompagné d’une démonstration, apparaît au début du IIIe siècle av. J.-C. dans les Éléments d’Euclide (proposition XLVII) sous la forme suivante[29] :

« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l’angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »

Sa réciproque est la proposition XLVIII[29] :

« Si le carré de l’un des côtés d’un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l’angle soutenu par ces côtés est droit. »

Buste de Pythagore
Pythagore, copie ancienne d'un original du milieu du Ve siècle av. J.-C. (Musées du Capitole)

Proclus dans ses commentaires (autour de l’an 400) relate, avec scepticisme, que certains attribuent à Pythagore la découverte du théorème, et attribue à Euclide la démonstration qu'il donne dans ses Éléments[30]. Les témoignages connus au sujet des contributions mathématiques de Pythagore sont tardifs : du Ier siècle av. J.-C., alors que Pythagore aurait vécu au VIe siècle avant notre ère. Un distique attribué à Apollodore de Cysique (IVe siècle av. J.-C.) et cité par Plutarque (Ier siècle de notre ère) pourrait faire exception s'il s'agit bien du théorème[31], mais Plutarque lui-même en doute[32]. L'identité exacte de l'auteur du distique, et donc la date de sa composition, n'ont d'ailleurs elles-mêmes rien d'évident[31]. Il n'y a cependant aucun doute que le théorème était connu des grecs bien avant Euclide, par exemple Hippocrate de Chio (Ve siècle av. J.-C.), l'auteur du théorème des deux lunules, ne pouvait l'ignorer. Aussi certains historiens ont tenté de reconstituer leurs démonstrations, celle d'Euclide ayant pu être contrainte par la structure de son traité axiomatique. Ainsi n'a-t-il pas encore abordé les proportions quand il démontre le théorème de l'hypoténuse au livre I, ce qui lui interdit une démonstration analogue à celle par les triangles semblables[33].

Conséquences

Le théorème de Pythagore pourrait avoir été à l’origine de la notion de grandeurs incommensurables, prémisse des nombres irrationnels. En effet, il montre[note 1] qu’un carré dont le côté sert d’unité a une diagonale dont le carré de la longueur vaut 2. Or aucune fraction d’entiers n’a de carré égal à 2. La construction géométrique d’un rapport « privé de raison » allait à l’encontre de la vision du monde de l’école pythagoricienne[34].

Démonstrations

Plusieurs centaines de démonstrations différentes[35] ont été répertoriées pour le théorème de Pythagore. La plupart sont construites sur des égalités d’aire obtenues par découpage et recollement, voire en utilisant des rapports d’aire de triangles semblables. La définition du produit scalaire en géométrie repérée fournit aussi une démonstration purement algébrique.

Selon Euclide

La démonstration présentée par Euclide dans les Éléments s’appuie d’une part sur le cas d’égalité[note 2] de deux triangles ayant un angle de même mesure entre deux côtés de mêmes longueurs, d’autre part sur la proposition XLI du livre Ier :

« Si un parallélogramme et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera [d’aire] double du triangle. »

Articles détaillés : Triangles isométriques et Aire d'un triangle.

La méthode utilisée permet de démontrer de façon analogue le théorème de Clairaut pour un triangle quelconque sur les côtés duquel sont construits des parallélogrammes.

Les deux sections suivantes présentent des méthodes de découpage et réorganisation des morceaux, qui rentrent souvent dans la catégorie des preuves sans mots.

Par le puzzle de Gougu

Animation du puzzle de Gougu

Le théorème de Gougu[36],[37] de gou (base) et gu (hauteur)(Chemla et Shuchun 2005, chap. 9) est reconstitué d’après les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui (IIIe siècle apr. J.-C.) sur le Jiuzhang suanzhu 九章算術 « Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique » (206 av.220 apr. J.-C.), et le Zhoubi suanjing 周髀算經, « Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou » (un livre d’astronomie). Le neuvième chapitre du livre Les neuf chapitres, classique mathématique de la Chine ancienne, s’ouvre sur un énoncé du théorème de Pythagore avec le commentaire laconique : « la base multipliée par elle-même fait un carré vermillon, la hauteur multipliée par elle-même un carré bleu-vert et l’on fait en sorte que ce qui entre et ce qui sort se compense l’un l’autre (...) alors (...) on engendre par réunion l’aire du carré de l’hypoténuse ». Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe.

L’absence d’illustration associée à ce commentaire réduit les historiens à émettre des conjectures pour sa reconstitution. Le dessin ci-contre est proposé par Jean-Claude Martzloff (de)[38] d’après une édition de 1892 des Neuf chapitres. Le triangle rectangle y est tracé en gras, le carré de la hauteur a été tracé à l’extérieur du triangle, le carré de la base et celui de l’hypoténuse sont tournés vers le triangle. Les parties des carrés des côtés de l’angle droit qui dépassent du carré de l’hypoténuse ont été découpées et replacées à l’intérieur de ce carré. Le triangle rouge est égal au triangle de départ. Le triangle jaune a pour grand côté de l’angle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. Le triangle bleu a pour grand côté de l’angle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial.

Karine Chemla(Chemla et Shuchun 2005, p. 680) appuie plutôt son raisonnement sur une figure fondamentale associée au texte du Zhoubi suanjing et formée d’un triangle 3 - 4 - 5 dans laquelle on peut lire de nombreuses relations liant les trois côtés du triangle rectangle. Elle interprète le commentaire de Liu Hui comme une nouvelle lecture de la figure fondamentale avec déplacement des 3 pièces 1 - 2 - 3 de l’extérieur du carré dans le carré de l’hypoténuse.

Figure de l’hypoténuse de laquelle on peut déduire[note 3]
c² = 4 (ab)/2 + (b - a)²
ou bien aussi
(a + b)² - 4(ab)/2 = c²
Les pièces forment deux carrés dont les dimensions sont celles des côtés du triangle rectangle.
Les pièces à l’extérieur du carré de l’hypoténuse sont venues se placer à l’intérieur.

Quant à Li Jimin[39], il attribue au Zhoubi Suanjian la paternité de la première démonstration, il s’appuie lui aussi sur la figure fondamentale et fait pivoter les triangles (1-2) et 3 sur leur pointe pour les installer dans le carré de l’hypoténuse.

Par soustraction d'aire

Carré de côté c inscrit dans un carré de côté a+b, tel que les quatre triangles constituant le complémentaire ont pour longueurs de côté a, b et c.

Pour un triangle rectangle donné, il est possible de l’inscrire en quatre exemplaires dans les coins d’un carré dont le côté a pour longueur la somme des longueurs des cathètes. Les quatre hypoténuses forment alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle.

Avec les notations usuelles, l’aire totale du grand carré vaut donc (a+b)^2 et l’aire du carré intérieur vaut c^2. La différence est constituée par quatre triangle d’aire (ab/2) chacun.

La relation algébrique s’écrit alors (a+b)^2 = 4 (ab/2) + c^2, c’est-à-dire a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2, ce qui revient à a^2+b^2 = c^2.

Juxtaposition de deux figures représentant un même carré dans lequel s’inscrivent quatre copies d’un même triangle rectangle, agencées à gauche pour laisser deux carrés formés sur leurs cathètes, et à droite pour laisser un carré formé sur leurs hypoténuses.
Démonstration du théorème par soustraction d’aires égales d’un même carré.

Avec une deuxième figure inscrite dans le même grand carré, les deux carrés formés sur les côtés du triangle rectangle s’obtiennent eux aussi par soustraction de quatre copies du triangle initial.

Animation prouvant par réarrangement de quatre triangles rectangles identiques
Animation montrant une autre preuve par réarrangement

Par des triangles semblables

Triangle rectangle avec pied de la hauteur

Il n’y a pas trace de la démonstration qu’aurait conçue Pythagore et les historiens envisagent deux types de démonstrations : ou bien une démonstration fondée sur un découpage comme celui de Gougu ou une démonstration utilisant les proportionnalités des triangles découpés par la hauteur issue de l’angle droit[7].

Si H est le pied de la hauteur issue de C, les triangles CAB, HAC et HCB sont semblables (par égalités des angles). Le rapport de similitude entre les triangles HAC et CAB est le rapport des hypoténuses AC/AB, de même le rapport de la similitude entre les triangles HCB et CAB est CB/AB. Le rapport des aires est alors égal au carré du rapport de la similitude, soit : \dfrac{A_{HAC}}{A_{CAB}} = \dfrac{AC^2}{AB^2} et \dfrac{A_{HCB}}{A_{CAB}} = \dfrac{BC^2}{AB^2}.

Comme d’autre part la somme des aires des triangles HAC et HCB donne l’aire du triangle CAB, on peut écrire : \dfrac{A_{HAC}}{A_{CAB}}+ \dfrac{A_{HCB}}{A_{CAB}} = \dfrac{AC^2}{AB^2}+ \dfrac{BC^2}{AB^2} = 1. Soit encore : AC^2 + BC^2 = AB^2.CQFD

On peut également proposer une variante plus élémentaire de cette démonstration afin de s’affranchir de la notion d’aire : le rapport de similitude entre les triangles HAC et CAB implique \dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AC}{AB} soit AH \cdot AB = AC^2. De même, le rapport de similitude entre les triangles HCB et CAB implique \dfrac{HB}{CB} = \dfrac{CB}{AB} soit HB \cdot AB = BC^2 en additionnant, il vient (AH+HB) \cdot AB = AB^2 = AC^2 + BC^2. CQFD

Cette démonstration est à rapprocher de celle du théorème de Ptolémée en prenant un rectangle comme quadrilatère.

Par le produit scalaire

Les vecteurs portés par les côtés d’un triangle ABC vérifient la relation de Chasles :

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}

donc par bilinéarité du produit scalaire, il vient :

AB^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}) \cdot (\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}) = AC^2 + CB^2 + 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}

donc la relation du théorème est équivalente à l’annulation du dernier produit scalaire, ce qui correspond précisément au cas où les vecteurs sont orthogonaux, autrement dit lorsque les côtés [AC] et [BC] forment un angle droit.

De nombreuses autres démonstrations ont été recensées[35], utilisant des outils mathématiques variés. Léonard de Vinci[40] et même le président américain James Garfield[41] en ont proposé. On peut également citer des preuves non mathématiques, par exemple il en existe une démonstration mécanique utilisant un équilibre de forces[42].

Généralisations

Pour un triangle quelconque

Article principal : loi des cosinus.
Triangle ABC avec les notations AB=c, AC=b, BC=a, d’angle α en A, β en B et γ en C
Notations usuelles dans un triangle quelconque.

La loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi donne une formule faisant intervenir les longueurs des côtés et le cosinus d’un angle. L’angle de mesure γ, le côté opposé de longueur c et les deux autres côtés de longueurs respectives a et b sont reliés par la relation :

c^2 = a^2 + b^2 - 2\,a\,b\,\cos(\gamma).

Si l’angle γ est droit, son cosinus est nul et la formule se réduit à la relation du théorème de Pythagore. S'il n'est pas droit le cosinus de l'angle γ est non nul ce qui donne la réciproque. Cette généralisation permet de traiter des problèmes de calcul d’angles et de distances dans un triangle quelconque.

Avec d'autres figures formées sur les côtés

Euclide mentionne dans les Éléments[29] (proposition 31 du livre VI) :

Dans les triangles rectangles, la figure construite sur l’hypoténuse est équivalente à la somme des figures semblables et semblablement construites sur les côtés qui comprennent l’angle droit.

Triangle rectangle avec les lunules formées sur les cathètes.
Propriété des lunules

En appliquant cette généralisation à des demi-disques formés sur chaque côté d’un triangle rectangle, il en découle le théorème des deux lunules, selon lequel l’aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de l’angle droit.

Le théorème de Clairaut est une autre généralisation, valable sur un triangle quelconque, sur les côtés desquels sont construits des parallélogrammes.

En plus grande dimension

L’hypoténuse d’un triangle rectangle pouvant se concevoir comme la diagonale d’un rectangle, une généralisation du théorème en dimension supérieure peut s’énoncer comme suit :

Dans un pavé droit, le carré de la grande diagonale est égal à la somme des carrés des dimensions du pavé.

Ce résultat est équivalent au calcul de la longueur d’un segment à partir des coordonnées cartésiennes de ses extrémités dans un repère orthonormé :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

ou, en dimension supérieure, si A est de coordonnées (x_i) et B de coordonnées (x'_i) :

AB = \sqrt{\sum_i(x'_i-x_i)^2}.

Cette dernière formule est encore valable dans un espace de Hilbert de dimension infinie et aboutit notamment à la formule de Parseval.

Le théorème de Gua donne une autre généralisation du théorème de Pythagore dans un espace euclidien : si un tétraèdre a toutes ses arêtes orthogonales en un sommet alors le carré de l’aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

En arithmétique : le théorème de Fermat-Wiles

Portrait de Pierre de Fermat, peint au XVIIe siècle.
Pierre de Fermat, inspiré par le problème des triplets pythagoriciens.

La recherche exhaustive des triplets pythagoriciens est un problème arithmétique à part entière. Elle a pu être motivée par la construction de triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont commensurables. Elle ouvre la porte à la recherche de triplets satisfaisant une équation plus générale : an + bn = cn, où l’exposant n est un entier supérieur à 2. L’absence de solution lorsque l’exposant est supérieur ou égal à 3 est la conjecture de Fermat, qui n’a été définitivement démontrée que plus de trois siècles plus tard par Andrew Wiles.

En géométrie non euclidienne

Le théorème de Pythagore est équivalent, modulo les autres axiomes de la géométrie, à l'axiome des parallèles[43] , qui peut être rédigé ainsi :

Axiome des parallèles — Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

Cela signifie que, dans les axiomes de la géométrie euclidienne, on peut remplacer l'« axiome » des parallèles par le « théorème » de Pythagore sans que les autres résultats de la géométrie soient modifiés. Les statuts d'axiome et de théorème de ces deux résultats sont alors inversés : le « théorème » de Pythagore devient un axiome (une vérité de base, indémontrable, sur laquelle s'appuie la théorie) et l'« axiome » des parallèles devient un théorème, qui peut être démontré à l'aide de Pythagore.

Dans d'autres géométries, l'axiome des parallèles est remplacé par un autre qui le contredit, et le théorème de Pythagore n'est donc plus vrai.

Triangle formé par trois grands cercles à la surface d’une sphère, se coupant deux à deux à angle droit.
Triangle trirectangle à la surface d’une sphère, pour lequel la relation du théorème de Pythagore ne s’applique pas.

En trigonométrie sphérique, si un triangle est formé par trois arcs de grands cercles à la surface d’une sphère de rayon R et si deux de ces arcs se croisent à angle droit, la relation du théorème de Pythagore n’est plus valable, comme dans le cas du triangle équilatéral trirectangle. Elle doit être remplacée par la formule[44] :

 \cos \left(\dfrac{c}{R}\right) = \cos \left(\dfrac{a}{R}\right)\,\cos \left(\dfrac{b}{R}\right)

c est la longueur de l’arc opposé à l’angle droit.

Une relation similaire existe en géométrie hyperbolique[45] pour une courbure constante égale à −1 :

 \mathrm{ch} \left(\dfrac{c}{R}\right) = \mathrm{ch}\left(\dfrac{a}{R}\right)\,\mathrm{ch}\left(\dfrac{b}{R}\right)

ch désigne la fonction cosinus hyperbolique.

Dans les deux cas, un développement limité à l’ordre 2 redonne, pour des triangles de faible dimension, la relation du théorème de Pythagore en géométrie plane.

Plus généralement, la propriété résiste mal au transfert dans d’autres géométries à cause de leur courbure :

  • si la courbure est positive : c^2 < a^2 + b^2 ;
  • si la courbure est négative : c^2 > a^2 + b^2 ;
  • si la courbure est nulle : c^2 = a^2 + b^2.

Dans le cadre de la relativité générale, l’espace euclidien est remplacé par un espace courbe où les segments sont remplacés par des géodésiques. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l’énergie conduisent l’espace à être non-euclidien et le théorème ne s’applique donc pas strictement en présence d’énergie. Cependant, la déviation par rapport à l’espace euclidien est faible sauf auprès d’imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d’importantes échelles cosmologiques, c’est-à-dire mesurer la courbure de l’Univers, est un problème ouvert pour la cosmologie.

Culture

Le théorème de Pythagore est mentionné dans La Planète des singes, de Pierre Boulle. Le narrateur, considéré comme un animal dépourvu d’intelligence, détrompe en effet son interlocuteur en traçant une figure géométrique qui illustre le théorème.

Le chansonnier Franc-Nohain a composé un quatrain qui cite le théorème[46] :

Le carré de l’hypoténuse
Est égal, si je ne m’abuse
À la somme des carrés
Construits sur les autres côtés.

Notes et références

Notes

  1. L’incommensurabilité du côté et de la diagonale du carré peut cependant se démontrer sans recourir au théorème de Pythagore.
  2. L’expression est utilisée pour désigner des triangles isométriques.
  3. Le commentaire du Zhoubi suanjing consiste à remarquer que le carré de l’hypoténuse est formé de 4 triangles vermillon d’aire ab/2 et d’un carré jaune central d’aire (b-a)²

Références

  1. a et b Pour une description de la tablette et diverses interprétations, voir Robson 2002.
  2. Høyrup 1998
  3. Voir Olivier Keller, Préhistoire de la géométrie : le problème des sources - pdf , Réunion, août 2001 ; voir également Maurice Caveing, Le Problème des Objets Dans la Pensée Mathématique - Problèmes et controverses, Vrin, 2004, p.56 qui critique l'utilisation des travaux de Thom par Bartel Leendert van der Waerden dans Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer Verlag, 1983.
  4. Le Papyrus Berlin 6619 qui peut dater du XIXe siècle av. J.-C. est parfois évoqué, mais cela est très contesté (Rossi 2007, p. 217). Il présente bien un problème du second degré dont la solution met en jeu implicitement le triplet (3, 4, 5), mais il n'est pas question de triangle rectangle. Voir également ci-dessous le paragraphe Égypte ancienne.
  5. Voir Høyrup 1998, p. 396, la solution est décrite de façon procédurale, voir (en) Duncan J. Melville, « Poles and walls in Mesopotamia and Egypt », Historia Mathematica, vol. 31,‎ 2004, p. 148–162 (lire en ligne)
  6. a et b Melville 2004
  7. a et b Éliane Cousquer, Le Théorème de Pythagore[PDF]
  8. Autour de Otto Neugebauer en Allemagne, puis de François Thureau-Dangin en France, voir Jens Høyrup, Changing Trends in the Historiography of Mesopotamian Mathematics: An Insider's View. History of Science 34 (1996), 1–32, version revue en ligne
  9. Høyrup 1998, p. 393.
  10. E.M. Bruins, Aperçu sur les mathématiques babyloniennes, In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, 1950, Tome 3 n°4. p. 312 [1].
  11. Plusieurs sont décrits par Høyrup 1998.
  12. Robson 2002, Høyrup 1998.
  13. Høyrup 1998, p. 402
  14. Høyrup 1998, p. 406-407.
  15. Vitrac 1990, p. 315
  16. (en) Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Springer, 2006, p. 13
  17. Jean-Claude Martzloff, « Quelques exemples de démonstration en mathématiques chinoises », dans La démonstration mathématique dans l’histoire, IREM de Lyon,‎ 1990, p. 131-132
  18. Rossi 2007, p. 64
  19. Maor 2007, p. 14
  20. Il s'agit du traité sur Isis et Osiris, dans les Œuvres morales, voir De Isis et Osiris, une traduction du texte de Plutarque.
  21. Rossi 2007, p. 64-65
  22. Maor 2007, p. 14-15
  23. L'usage de cordes pour l'arpentage est quant à lui bien attesté, il est représenté dans des tombes de la XVIIIe dynastie (Rossi 2007, p. 154), mais sans trace de nœuds(Rossi 2007, p. 155-156).
  24. Rossi 2007, p. 221
  25. Rossi 2007, p. 155
  26. De nombreuses tentatives de reconstitutions de plans d'édifices à partir de triangles (pas forcément rectangles) ont eu lieu depuis le XIXe siècle (Rossi 2007, p. 7-28). Parmi les plus récentes : Jean-Philippe Lauer utilise le triangle 3-4-5, compte-rendu critique et références dans (Rossi 2007, p. 158-161), Alexandre Badawy l'utilise accompagné d'autres triangles, compte-rendu critique et références dans (Rossi 2007, p. 32-56).
  27. Rossi 2007, p. 117 ; cet exemple est jugé le plus convaincant pour une relation entre l'utilisation de cordes et le triangle 3-4-5 par (Rossi 2007, p. 159).
  28. Rossi 2007, p. 218
  29. a, b et c Éléments d’Euclide
  30. Éliane Cousquer, Le Théorème de Pythagore[PDF] p. 10-11
  31. a et b Vitrac 1990, p. 311
  32. Vitrac 1990, p. 377
  33. Vitrac 1990, p. 313
  34. Entrée « Irrationnel » § III b dans (Baruk 1992).
  35. a et b (en) Alexander Bogomolny, « Pythagorean theorem », Cut The Knot, propose 99 démonstrations différentes du théorème mais cite The Pythagorean Proposition (par Elisha Scott Loomis, au début du XXe siècle) qui en rassemble 367.
  36. (en) Proof of Guogu or Pythagoras' Theorem sur chinapage.com
  37. Martzloff 1990
  38. Jean-Claude Martzloff, Histoire des mathématiques chinoises A History of Chinese Mathematics - Google Livres
  39. Karine Chemla dans (Chemla et Shuchun 2005) fait référence à l’interprétation (1993) de cet historien p. 682.
  40. (en) Alexander Bogomolny, « Pythagorean theorem », Cut The Knot, proof 16
  41. (en) Alexander Bogomolny, « Pythagorean theorem », Cut The Knot, proof 5
  42. On trouvera cette démonstration ici, et une critique détaillée de cette démonstration (en) sur le site de Cut The Knot.
  43. (en) Scott E. Brodie, « The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate », Cut The Knot
  44. Franz Brünnow (en), Traité d'astronomie sphérique et d'astronomie pratique: Astronomie sphérique, Gauthier-Villars, 1869 Formules relatives aux triangles rectangles, p. 13
  45. Saul Stahl, The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry, Jones & Bartlett Learning,‎ 1993 (ISBN 0-86720-298-X, lire en ligne), chap. 8.2, (« Hyperbolic right triangle »), p. 122
  46. Entrée « Pythagore (théorème de) » dans (Baruk 1992)

Sources

  • Karine Chemla et Guo Shuchun, Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires [détail de l’édition]
  • Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires,‎ 1992 [détail de l’édition]
  • (en) Christopher Cullen (de), Astronomy and Mathematics in Ancient China: The ‘Zhou Bi Suan Jing’, CUP,‎ 2007 (ISBN 978-0-521-03537-8, lire en ligne)
  • Bernard Vitrac, Euclide Les Éléments Volume 1. Introduction générale. Livres I à IV, PUF,‎ 1990, commentaires du Livre I, Sur Pythagore et le « théorème de Pythagore », p. 311-321.
  • (en) Eli Maor, The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, Princeton, New Jersey, Princeton University Press,‎ 2007 (ISBN 978-0-691-12526-8, lire en ligne)
  • (en) Corinna Rossi, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press,‎ 2007 (ISBN 978-0-521-69053-9)
  • (en) Jens Høyrup, « Pythagorean ‘Rule’ and ‘Theorem’ – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics », dans Johannes Renger (ed.), Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft, 24.–26. März 1998 in Berlin, Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag,‎ 1998 (lire en ligne), p. 393–407.
  • (en) Eleanor Robson, « Words and pictures: new light on Plimpton 322 », Amer. Math. Month., vol. 109, no 2,‎ 2002, p. 105–120 (DOI 10.2307/2695324, lire en ligne).

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