Règle du parallélogramme

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En mathématiques, la forme la plus simple de la règle du parallélogramme est celle de géométrie élémentaire. Elle dit que la somme des carrés des longueurs des quatre côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales. Dans le cas où le parallélogramme est un rectangle, les diagonales sont de longueurs égales ce qui ramène cette règle au théorème de Pythagore.

La règle du parallélogramme dans les espaces préhilbertiens[modifier | modifier le code]

Dans les espaces préhilbertiens (en particulier les espaces de Hilbert), la règle du parallélogramme revient à cette identité algébrique :

2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2

\|x\|^2=\langle x, x\rangle.

Espaces normés satisfaisant la règle du parallélogramme[modifier | modifier le code]

Beaucoup d'espaces vectoriels normés n'ont pas de produit scalaire mais comme ils ont une norme, ils peuvent évaluer tous les termes de l'identité précédente de la règle du parallélogramme. Un fait remarquable[1] est que l'identité reste valide seulement si la norme se déduit d'un produit scalaire : c'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan. De plus, le produit scalaire qui génère cette norme est unique, par la conséquence de l'identité de polarisation. Dans le cas réel il est donné par :

\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},

ou de manière différente :

\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2},
ou
\langle x, y\rangle={\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.

Dans le cas complexe, le produit scalaire hermitien à droite est donné par :

\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+\mathrm i\,{\|\mathrm ix-y\|^2-\|\mathrm ix+y\|^2\over 4}.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. On peut de plus remarquer que (par changement de variables) l'identité est valide dès que l'inégalité large (dans un sens ou dans l'autre) l'est. Pour des conditions suffisantes encore plus faibles, voir « Identité de polarisation », § Cas réel ou (en) David Albert Senechalle, « A characterization of inner product spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 19,‎ 1968 (lire en ligne).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de projection sur un convexe fermé, dont le présent théorème est un argument clé