Carré sommable

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En mathématiques, une fonction définie sur un espace mesuré Ω et à valeurs dans ou est dite de carré sommable ou de carré intégrable si elle appartient à l’espace L2(Ω).

Par exemple, une fonction mesurable f de ℝ dans ℂ est de carré sommable lorsque l’intégrale suivante (au sens de Lebesgue)

\int_\R|f(x)|^2~\mathrm dx

converge, c'est-à-dire si elle existe et correspond ainsi à un nombre fini.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace Lp.

Considérons les fonctions mesurables définies sur l’ensemble ℝ et à valeurs dans ℂ dont l’intégrale (au sens de Lebesgue) du carré du module converge[1]. Ces fonctions constituent un espace vectoriel2(ℝ) qui, grâce à l'inégalité de Hölder, peut être muni de la forme hermitienne positive définie par

(f,g)_2=\int_\R f(x)\overline{g}(x)\,\mathrm{d}x

et de la semi-norme correspondante

\|f\|_2=\left(\int_\R|f(x)|^2~\mathrm dx\right)^{1/2}.

Puisqu’une fonction f de ℒ2(ℝ) peut rester indéfinie sur un ensemble de mesure nulle sans affecter les intégrales précédentes, la relation d'équivalence « est égale presque partout » permet de constituer des classes de fonctions (notées provisoirement [f]) : deux fonctions sont alors dans la même classe si elles sont « égales presque partout », c’est-à-dire égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle. L’ensemble de ces classes constitue l’espace vectoriel L2(ℝ).

Puisque le noyau de la de la semi-norme est l’ensemble des fonctions négligeables (c'est-à-dire nulles presque partout) de ℒ2(ℝ), l’espace L2(ℝ) acquiert une structure d’espace de Hilbert à l’aide du produit scalaire

([f],[g])_2=\int_\R f(x)\overline{g}(x)~\mathrm dx

et de la norme correspondante

\|[f]\|_2=\left(\int_\R|f(x)|^2~\mathrm dx\right)^{1/2}.

Ces intégrales ne dépendent pas des représentants f ou g de ℒ2(ℝ) choisis pour caractériser les classes [f] ou [g] de L2(ℝ).

Simplification en passant aux fonctions définies presque partout[modifier | modifier le code]

Il est commode et fréquent d’identifier une fonction f de ℒ2(ℝ) à sa classe [f] dans L2(ℝ). Ainsi :

  • L’espace L2(ℝ) des fonctions de carré sommable est l’ensemble des (classes d'égalité presque partout de) fonctions mesurables définies presque partout sur ℝ et à valeurs dans ℝ ou ℂ, telles que le carré de leur module soit Lebesgue-intégrable sur ℝ.
  • L2(ℝ) est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire
(f,g)_2 = \int_\R f(x)\overline g(x)~\mathrm dx.

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

En tant qu’espace de Hilbert, L2(ℝ) est un espace complet :

Si une suite \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} dans L2(ℝ) est de Cauchy, alors il existe une limite f dans L2(ℝ) (c'est-à-dire un fonction définie presque partout sur ℝ et de carré sommable) telle que
\lim_{n\to\infty}\int_\R|f-f_n|^2~\mathrm dx=0.

C’est la notion de convergence en moyenne quadratique. Elle n’implique pas nécessairement la convergence ponctuelle presque partout.

Cependant, de toute suite convergente de L2(ℝ), on peut extraire une sous-suite qui converge ponctuellement presque partout. En d’autres termes, si \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} converge vers f en moyenne quadratique, on peut trouver une partie infinie K de ℕ et un ensemble E de mesure nulle tels que

\forall x\notin E,\quad \lim_{n\in K, n\to \infty} f_n(x)=f(x).

Le théorème de convergence dominée fournit une condition suffisante de convergence en moyenne quadratique :

Soit \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} une suite dans L2(ℝ) qui converge presque partout vers une limite f. S’il existe une fonction h dans L2(ℝ) et un ensemble E de mesure nulle tels que
\forall x\notin E,\quad |f_n(x)|\le h(x),
alors \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} converge en moyenne quadratique vers f.

Les fonctions de carré sommable en physique[modifier | modifier le code]

En physique quantique, une fonction d'onde \scriptstyle|\Psi(\vec r,t)\rangle associée à une particule est de carré sommable relativement à la variable spatiale. Physiquement, en effet, le carré du module de la fonction d'onde \scriptstyle|\Psi(\vec r,t)\rangle est une densité de probabilité de présence de la particule au point \scriptstyle\vec r et à l'instant t. Par conséquent, l'intégrale de ce carré vaut 1, puisque la particule se trouve quelque part dans l'espace. En termes plus mathématiques, une fonction d'onde est de norme 1 dans l'espace des fonctions de carré sommable.

Note[modifier | modifier le code]

  1. ℝ est ici muni à la fois de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue.

Voir aussi[modifier | modifier le code]