Identité de polarisation

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En mathématiques, les identités de polarisation concernent l'algèbre multilinéaire. Elles correspondent à une caractérisation des formes bilinéaires symétriques, des formes sesquilinéaires hermitiennes. Si E est un espace vectoriel, ces formes sont des applications de E×E dans le corps des scalaires (réels ou complexes). Elles sont intégralement caractérisées par leur comportement sur la diagonale, c'est-à-dire par la connaissance d'une telle forme f sur l'ensemble des points (x, x) où x est un élément quelconque de E. L'application φ qui à x associe f(x, x) est la forme quadratique associée.

Il existe ainsi une équivalence entre les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques. Une identité de polarisation permet d'exprimer une forme bilinéaire symétrique ou une forme sesquilinéaire hermitienne à partir de la forme quadratique associée.

Identités de polarisation[modifier | modifier le code]

Les identités de polarisation sont de deux types différents, celles qui s'appliquent sur les formes bilinéaires et celles pour les formes sesquilinéaires.

Formes bilinéaires symétriques[modifier | modifier le code]

Le contexte des identités de polarisation est celui d'un espace vectoriel E quelconque sur un corps K commutatif et de caractéristique différente de deux. Soit φ une forme quadratique sur E, non nécessairement définie et non nécessairement positive (si le corps K est ordonné).

Définition —  On appelle identités de polarisation, chacune des trois égalités suivantes, qui définissent l'unique forme bilinéaire symétrique f de E×E dans K telle que f(x,x)=\varphi (x) :

\forall x,y\in E\quad f(x,y) = \frac12\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x)-\varphi(y)\bigr),


\forall x,y\in E\quad f(x,y) = \frac12\bigl(\varphi(x)+\varphi(y)-\varphi(x-y)\bigr),


\forall x,y\in E\quad f(x,y) = \frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)\bigr).

En particulier, soit E un espace préhilbertien réel dont la norme d'un vecteur x est notée : \scriptstyle {\|x\|} et le produit scalaire de deux vecteurs x et y : \scriptstyle {(x|y)}. Les deux égalités suivantes sont vérifiées :

\forall x,y  \in E \quad (x|y) = \frac12\bigl(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\bigr)\;\text{ou}\quad (x|y)= \frac14 \bigl( \|x+y\|^2 -\|x-y\|^2\bigr).

Ces résultats proviennent de la propriété suivante, si f est une forme bilinéaire de E×E quelconque :

\forall x,y\in E\quad f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(y,y)+f(x,y)+f(y,x)

et l'application qui à (x, y) associe (f(x, y) + f(y, x))/2 est symétrique.

Formes sesquilinéaires à gauche[modifier | modifier le code]

Si le corps K sous-jacent à E n'est pas celui des réels mais est, comme lui, muni d'une valeur absolue, la notion de norme conserve un sens. Si K est le corps des complexes, la « valeur absolue » est le module. De ce point de vue, la notion de forme sesquilinéaire est l'analogue, sur un espace vectoriel complexe, de celle de forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel. Dans ce paragraphe E est un espace vectoriel complexe.

Soit g une forme sesquilinéaire (non nécessairement hermitienne) sur E. On la suppose sesquilinéaire à gauche, c'est-à-dire semi-linéaire par rapport à la première variable et ℝ-linéaire par rapport à la seconde. On note φ(x) = g(x, x) la forme quadratique associée :

Définition —  On appelle formule de polarisation[1] ou forme polaire de φ[2] l'égalité suivante, permettant de retrouver la forme sesquilinéaire à gauche g de E×E dans ℂ :

\forall x,y\in E\quad g(x,y)=\frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)+{\rm i}\varphi(x-{\rm i}y)-{\rm i}\varphi(x+{\rm i}y)\bigr).

Ici i désigne l'unité imaginaire.

Formes hermitiennes (à gauche)[modifier | modifier le code]

Dans la formule de polarisation, on ne trouve une forme hermitienne que si la forme g de départ était hermitienne (à gauche).

  • Si la fonction φ est à valeurs réelles et si φ(–x) = φ(x), la formule de polarisation montre que g est nécessairement hermitienne :
g(y,x)=\overline{g(x,y)}.

La dernière remarque sur les formes bilinéaires symétriques s'applique encore si E est un espace préhilbertien complexe et avec les notations du paragraphe précédent (et une forme hermitienne à gauche) :

\forall x,y  \in E \quad (x|y) = \frac14 \bigl( \|x+y\|^2 -\|x-y\|^2+{\rm i}\|x-\mathrm iy\|^2-{\rm i}\|x+{\rm i}y\|^2\bigr).

Cas des formes sesquilinéaires à droite[modifier | modifier le code]

Si la forme de départ était sesquilinéaire à droite, la formule de polarisation serait la suivante :

\forall x,y\in E\quad h(x,y)=\frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)+{\rm i}\varphi(x+{\rm i}y)-{\rm i}\varphi(x-{\rm i}y)\bigr)=\frac14\sum_{k=0}^3{\rm i}^k\varphi(x+{\rm i}^ky).

Autres formules de polarisations[modifier | modifier le code]

Il existe d'autres formules de polarisation (données ici pour une forme sesquilinéaire à droite[2]) :

\forall x,y\in E\quad h(x,y)=\frac12\bigl(\varphi(x+y)+{\rm i}\varphi(x+{\rm i}y)-(1+{\rm i})(\varphi(x)+\varphi(y))\bigr)
\forall x,y\in E\quad h(x,y)=-\frac12\bigl(\varphi(x-y)+{\rm i}\varphi(x-{\rm i}y)-(1+{\rm i})(\varphi(x)+\varphi(y))\bigr).

Pour une forme hermitienne positive (la positivité n'est pas obligatoire), à partir des formules précédentes, on obtient en isolant la partie réelle :


\begin{array}{l}
\text{Re}\langle u, v \rangle = \frac12\left(\|u+v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2\right), \\[3pt]
\text{Re}\langle u, v \rangle = \frac12\left(\|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u-v\|^2\right), \\[3pt]
\text{Re}\langle u, v \rangle = \frac14\left(\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2\right).
\end{array}

Pour la partie imaginaire d'une forme hermitienne (positive) à droite :


\begin{array}{l}
\text{Im}\langle u, v \rangle = \frac{1}{2}\left(\|u+\mathrm iv\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2\right), \\[3pt]
\text{Im}\langle u, v \rangle = \frac{1}{2}\left(\|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u-\mathrm iv\|^2\right), \\[3pt]
\text{Im}\langle u, v \rangle = \frac{1}{4}\left(\|u+\mathrm iv\|^2 - \|u-\mathrm iv\|^2\right).
\end{array}

Correspondance entre formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques[modifier | modifier le code]

L'application qui, à une forme bilinéaire symétrique (resp. une forme sesquilinéaire à gauche) associe sa forme quadratique est un monomorphisme d'espaces vectoriels. La forme polaire correspond à l'isomorphisme réciproque.

Normes issues d'un produit scalaire[modifier | modifier le code]

Il est possible d'aller plus loin à l'aide de la règle du parallélogramme.

Cas réel[modifier | modifier le code]

Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel réel. Si φ est une forme quadratique, elle vérifie l'égalité suivante dite, règle du parallélogramme :

\forall x,y \in E \quad  \varphi(x+y) + \varphi(x-y) = 2\bigl( \varphi(x) + \varphi(y)\bigr).

La réciproque est vraie sous l'hypothèse que pour tous vecteurs x et y, la fonction numérique tφ(x + ty) est continue, ou même seulement mesurable.

On en déduit le théorème suivant :

Théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan cas réel[4],[5] —  Une norme N sur E dérive d'un produit scalaire si et seulement si N2 respecte l'identité du parallélograme. Ce produit scalaire est alors unique, puisqu'il est donné par l'une quelconque des trois identités de polarisation dans le cas réel.

Conditions suffisantes. Pour qu'une norme N sur un espace vectoriel réel E dérive d'un produit scalaire, l'une quelconque des conditions nécessaires suivantes suffit[6],[7] :

  1. \forall x,y\in E~\text{tels que}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x+y)^2+N(x-y)^2\le4.
  2. \forall x,y\in E~\text{tels que}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x+y)^2+N(x-y)^2\ge4.
  3. Il existe une application \scriptstyle F:[0,2]\to\R telle que :
    \forall x,y\in E~\text{tels que}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x-y)=F(N(x+y)).

Cas complexe[modifier | modifier le code]

Dans ce paragraphe E désigne un espace vectoriel complexe préhilbertien. L'identité du parallélogramme est encore valable pour la norme.

La situation est ici encore analogue à celle des espaces réels. La norme d'un produit scalaire hermitien le caractérise. Toute norme satisfaisant l'égalité du parallélogramme est issue d'un produit scalaire.

Théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan cas complexe — Une norme N sur E dérive d'un produit scalaire hermitien si et seulement si N2 respecte l'identité du parallélograme. Ce produit scalaire est alors unique, puisqu'il est déterminé par la formule de polarisation.

Remarque : suivant le choix de la formule de polarisation, on obtient une forme hermitienne à gauche ou à droite (avec unicité dans chacun des deux cas).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, EVT, chap. V, p. 2
  2. a et b Ramis, Deschamp, Odoux, Cours de mathématiques spéciales, tome 2, Masson, p. 103
  3. Georges Skandalis (de), Topologie et analyse 3e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001, p. 272 et 318.
  4. (en) P. Jordan et J. von Neumann, « On inner products in linear metric spaces », Ann. of Math., vol. 36, n° 3, 1935, p. 719-723 [lire en ligne].
  5. Cette dénomination est indiquée dans Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 87.
  6. Pour les conditions 1 et 2, il n'est même pas nécessaire de supposer que N est une norme : les propriétés de séparation et d'homogénéité suffisent, la sous-additivité n'est pas requise a priori, cf (en) I. J. Schoenberg, « A remark on M. M. Day's characterization of inner product spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 3,‎ 1952, p. 961-964 (lire en ligne)
  7. (en) David Albert Senechalle, « A characterization of inner product spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 19,‎ 1968 (lire en ligne)

(en) Kōsaku Yosida, Functional Analysis, Springer, 1980 (ISBN 3-540-10210-8)

Liens externes[modifier | modifier le code]