Algèbre de Banach

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En mathématiques, l'algèbre de Banach est une des structures fondamentales de l'analyse fonctionnelle, portant le nom du mathématicien polonais Stefan Banach (1892-1945).

Définition[modifier | modifier le code]

Définition — Une algèbre de Banach (A, +, ×, ║ ║) sur le corps K = ℝ ou ℂ est une K-algèbre associative normée telle que l'espace vectoriel normé sous-jacent soit en outre un espace de Banach (i.e. un espace vectoriel normé complet).

Suivant les auteurs, la structure d'algèbre exige ou non la présence d'un élément unité[1]. Les termes algèbre unitaire et algèbre non unitaire permettent de différencier les structures. En analyse fonctionnelle, une algèbre de Banach est dite unitaire lorsqu'il existe un élément neutre, nécessairement unique, e, et que la norme de e est 1.

On parle en outre d'algèbre de Banach commutative quand la loi produit est commutative.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'ensemble des nombres réels muni de la valeur absolue, de la somme et du produit est une algèbre de Banach réelle et unitaire. De même, l'ensemble des nombres complexes, muni du module, de la somme et du produit est une algèbre de Banach complexe et unitaire. Ces exemples sont fondamentaux.
  • Si H est un espace vectoriel réel ou complexe normé complet, l'algèbre des opérateurs linéaires bornés (c'est-à-dire des endomorphismes réels ou complexes continus) de H est une algèbre de Banach réelle ou complexe (unitaire) pour la norme d'opérateurs correspondante, la somme et la composition d'opérateurs. Delà en découle la théorie de la représentation des algèbres de Banach.
  • L'exemple (précédent) concerne notamment les algèbres d'endomorphismes en dimension finie : en particulier, Mn(ℝ) et Mn(ℂ) sont des algèbres de Banach, pour une norme matricielle classique.
  • L'algèbre (X) des fonctions bornées sur un ensemble X (à valeurs réelles ou complexes), munie de la norme de la convergence uniforme.
  • Si X est un espace localement compact, la sous-algèbre des fonctions continues et bornées.
  • L'espace L1 des fonctions intégrables sur ℝ (modulo l'égalité presque partout) est une algèbre de Banach non unitaire relativement au produit de convolution. Dans la théorie de Riemann de l'intégration, cette algèbre est construite à unique isomorphisme près par complétion d'un espace raisonnable, par exemple l'espace des fonctions continues à support compact, muni de la norme L1.
  • Plus généralement, si G est un groupe localement compact et μ « sa » mesure de Haar, l'espace de Banach L1(μ) est une algèbre de Banach pour le produit de convolution xy(g) = ∫ x(h) y(h−1g) dμ(h).

Propriétés des algèbres unitaires[modifier | modifier le code]

Soit A une algèbre de Banach unitaire, d'élément unité e.

Propriétés de l'application de passage à l'inverse[modifier | modifier le code]

Comme dans toute algèbre, les éléments inversibles de A forment un groupe. Tout élément x appartenant à la boule ouverte de centre e et de rayon 1 en fait partie, et son inverse peut être exprimé comme somme de la série géométrique de raison x.

\|x\|<1\Longrightarrow (e-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n

Le groupe G des éléments inversibles d'une algèbre de Banach est un ouvert.

L'application de passage à l'inverse est un homéomorphisme de G sur G, ce qui confère à G une structure de groupe topologique. Il s'agit même d'une application différentiable (infiniment, par récurrence), la différentielle au point x étant donnée par la même formule (et la même démonstration) que pour les matrices inversibles :

{\rm d}_x \mathrm{Inv} (h)=-x^{-1}hx^{-1}.

L'hypothèse de complétude est essentielle et ces résultats tombent en défaut dans les algèbres normées non complètes. Par exemple considérons l'algèbre ℝ[X] des polynômes à coefficients réels, munie de n'importe quelle norme d'algèbre. Le groupe des inversibles est ℝ* qui est inclus dans le sous-espace vectoriel strict ℝ de ℝ[X] et est donc d'intérieur vide ; il n'est donc pas ouvert. Ceci montre en particulier que ℝ[X] ne peut être muni d'une structure de ℝ-algèbre normée complète. D'ailleurs, d'après le théorème de Baire, un espace vectoriel normé de dimension dénombrable n'est jamais complet : voir le § « Complétude » de l'article sur les espaces vectoriels normés.

Idéaux et algèbre quotient[modifier | modifier le code]

Les idéaux maximaux d'une algèbre de Banach sont fermés.

Une algèbre de Banach complexe dont tout élément non nul est inversible est isomorphe, par l'intermédiaire d'une isométrie, au corps des nombres complexes (théorème de Gelfand-Mazur); en particulier, les idéaux maximaux des algèbres de Banach complexes sont des hyperplans fermés. La commutativité est une conséquence du théorème.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Dans le tome II de ses Éléments d'analyse, Jean Dieudonné impose l'existence d'un élément neutre dans la définition d'une algèbre de Banach. Au contraire, N. Bourbaki ne le suppose pas[réf. souhaitée].

Article connexe[modifier | modifier le code]

Conjecture de Kaplansky