Magma (algèbre)

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un magma est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Ainsi, si l'on note $E$ un ensemble et $\star$ une loi de composition interne, le couple noté $(E,\star)$ est un magma.

Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication.

On appelle magma opposé au magma $M=(E,\star)$ le magma $M^{op}=(E,\boxplus )$ où $x\boxplus y=y\star x$ pour tous $x, y \in E$.

Historique

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation groupoïde de Ore, introduite par B.A. Hausmann et Øystein Ore en 1937 et parfois utilisée jusque dans les années 1960, est aujourd'hui à éviter . L'usage du terme groupoïde est aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Exemples de magmas

• $(\mathbb{N},+)$ est un magma associatif, commutatif et unifère. De plus, tout élément y est régulier. Il s'agit donc d'un monoïde commutatif et régulier, donc d'un semi-groupe commutatif.
• $(\mathbb{N}, \times)$ est également un monoïde commutatif, mais 0 n'étant pas régulier, ce n'est pas un semi-groupe.
• $(\mathbb{Z},-)$ est un magma non-associatif et non-commutatif. Il n'est même pas unifère car, s'il admet un élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. Par contre, ce magma est permutatif et régulier.
• Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments $\{0, 1, 2\}$ muni de la loi interne $\star$ ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie.

Magma {0,1,2} muni de $\star$

$\star$	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	2	2