Magma (algèbre)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Magma.

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un magma est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Ainsi, si l'on note E un ensemble et \star une loi de composition interne, le couple noté (E,\star) est un magma.

Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication.

On appelle magma opposé au magma M=(E,\star) le magma M^{op}=(E,\boxplus )x\boxplus y=y\star x pour tous x, y \in E.

Historique[modifier | modifier le code]

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation groupoïde de Ore, introduite par B.A. Hausmann et Øystein Ore en 1937[1] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[2], est aujourd'hui à éviter [3],[4],[5]. L'usage du terme groupoïde est aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Exemples de magmas[modifier | modifier le code]

  • (\mathbb{N},+) est un magma associatif, commutatif et unifère. De plus, tout élément y est régulier. Il s'agit donc d'un monoïde commutatif et régulier, donc d'un semi-groupe commutatif.
  • (\mathbb{N}, \times) est également un monoïde commutatif, mais 0 n'étant pas régulier, ce n'est pas un semi-groupe.
  • (\mathbb{Z},-) est un magma non-associatif et non-commutatif. Il n'est même pas unifère car, s'il admet un élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. Par contre, ce magma est permutatif et régulier.
  • Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments \{0, 1, 2\} muni de la loi interne \star ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[6].
Magma {0,1,2} muni de \star
\star 0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 2 2

Magmas libres[modifier | modifier le code]

On définit par récurrence sur l'entier  n\geqslant 1 une suite d'ensembles M_n(X) comme suit :

On pose M_1(X)=X; pour n\geqslant 2 M_n(X) est l'ensemble somme des ensembles M_p(X)\times M_{n-p}(X) pour 1 \leqslant p \leqslant n-1.

L'ensemble somme de la famille (M_n(X))_{n\geqslant 1} est noté M(X) ; on identifie chacun des ensembles M_n(X) à son image canonique dans M(X).

Pour tout élément \omega de M(X), il existe un unique entier n tel que \omega \in M_n(X); on l’appelle la longueur de \omega et on le note l(\omega).

L'ensemble X se compose des éléments de longueur 1 dans M(X).

Soient \omega et \omega ' dans M(X); posons p=l(\omega) et q=l(\omega'). L'image de (\omega,\omega ') par l'injection canonique de M_p(X)\times M_q(X) dans l'ensemble somme M_{p+q}(X) s'appelle le composé de \omega et \omega ' et se note \omega \omega ' ou \omega \bullet \omega '. On a donc l(\omega \bullet \omega ')=l(\omega)+l(\omega') et tout élément de M(X) de longueur \geqslant2 s'écrit de manière unique sous la forme \omega ' \omega '' avec \omega ' et \omega '' dans M(X).

On appelle magma libre[7] construit sur X l'ensemble M(X) muni de la loi de composition \bullet.

Magmas usuels[modifier | modifier le code]

Monoïde : magma unifère associatif [8]

Groupe : monoïde inversible [9]

Pseudo-anneau : Anneau sans nécessité d'élément neutre pour la seconde loi.

Anneau : groupe commutatif pour la première loi, monoïde pour la seconde, distributivité de la seconde sur la première[10].

Anneau commutatif : Anneau dont la seconde loi est commutative[10].

Corps : Anneau inversible pour la seconde loi. (Il n'est pas nécessaire que l'élément neutre de la première soit inversible par la seconde)[11].

Module (à gauche sur un anneau A) : (E,+) groupe commutatif pour la première loi , seconde loi T allant de A x E dans E, distributivité à gauche et à droite de T sur +,

a T ( b T x ) = ab T x, soit 1 l'élément neutre de la seconde loi de A : Pour tout x de E 1 T x = x[12].

Espace vectoriel (sur un corps K) : K-module libre[13].

Algèbre (sur un anneau A) : A-module sur E, application A-bilinéaire de E x E dans E[14].

Note[modifier | modifier le code]

  1. B.A. Hausmann and Oystein Ore, "Theory of Quasi-Groups", American Journal of Mathematics, Vol. 59, No. 4, p. 983-1004, October 1937 (http://www.jstor.org/stable/2371362).
  2. Dov Tamari, Problèmes d'associativité des monoïdes ..., Séminaire Dubreil tome 16 n° 1 (1962-63) p. 7-08, mais attention ne pas confondre avec la notion courante de groupoïde
  3. http://reference.iucr.org/dictionary/Groupoid
  4. Massimo Nespolo, "Does mathematical crystallography still have a role in the XXI century?", Acta Crystallographica, Section A, Vol. 64, p. 97, January 2008 (doi:10.1107/S0108767307044625).
  5. L. Beklemishev, M. Pentus, and N. Vereshchagin, "Provability, Complexity, Grammars", American Mathematical Society Translations, Series 2, Vol. 192, p. 591, 1999. (English translation of the original 1992 Ph.D. dissertation in Russian, http://www.mi.ras.ru/~bekl/Papers/koi-d.pdf)
  6. V. L. Murskiǐ , The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities, Soviet Math. Dokl. 6 (1965), 1020-1021
  7. Bourbaki A I.77 §7 Magmas libres.
  8. Bourbaki A I.12 §2 1.Élément neutre Définition 2.
  9. Bourbaki A I.15 §2 3.Éléments inversibles Définition 6.
  10. a et b Bourbaki A I.92 §8 1.Anneaux Définition 1.
  11. Bourbaki A I.108 §9 1.Corps Définition 1.
  12. Bourbaki A II.1 §1 1.Modules; espaces vectoriels; combinaisons linéaires Définition 1.
  13. Bourbaki A II.95 §7 1.Bases d'un espace vectoriel Définition 1.
  14. Bourbaki A III.2 §1 1.Définition d'une algèbre Définition 1.