Théorème de Banach-Mazur

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Le théorème de Banach-Mazur est un résultat d'analyse fonctionnelle. De manière très approximative, il exprime que les espaces vectoriels normés vérifiant des conditions raisonnables du point de vue de l'analyse sont des sous-espaces fermés de l'espace des chemins continus sur la droite réelle. Le théorème porte le nom de Stefan Banach et Stanisław Mazur.

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Tout espace de Banach séparable est isométrique à un sous-espace fermé de \mathcal{C}([0;1], \R), l'espace des fonctions continues de l'intervalle unité sur la droite réelle.

Esquisse de démonstration[modifier | modifier le code]

Si K est un espace compact, alors C(K) est l'espace de Banach des fonctions continues K\rightarrow {\mathbb R} avec la norme \|\cdot\|_\infty. Si on prend pour K l'ensemble de Cantor \Delta, on obtient un espace de Banach séparable, qui contient une copie isométrique de tout espace de Banach séparable.

  • Énoncé (1) du Théorème de Banach-Mazur : pour tout espace de Banach séparable E, il existe une application linéaire isométrique E\rightarrow C(\Delta).

Soit E_1' la boule unité du dual de E. Celle-ci est d'après le théorème de Banach-Alaoglu faiblement compacte pour la topologie faible et à cause de la séparabilité également métrisable. Alors il existe une application continue surjective \phi:\Delta\rightarrow E_1', car d'après un résultat de topologie tout espace compact métrisable est l'image continue de l'ensemble de Cantor. Définissons alors T:E\rightarrow C(\Delta) par Tx(\delta) := \phi(\delta)(x), x\in E, \delta\in \Delta. T est linéaire de manière évidente. T est également isométrique, car \|Tx\|_\infty := \sup_{\delta\in\Delta}|Tx(\delta)| = \sup_{\delta\in\Delta}|\phi(\delta)(x)| = \sup_{f\in E_1'}|f(x)| = \|x\| , où la dernière égalité résulte du théorème de Hahn-Banach et l'avant-dernière de la surjectivité de \phi\,.

Il en résulte facilement le corollaire suivant:

  • Corollaire : pour tout espace de Banach séparable E, il existe un opérateur linéaire isométrique E\rightarrow C([0,1]).

Pour tout f\in C(\Delta), on définit \tilde{f}:[0,1]\rightarrow \R comme la fonction continue, telle que \tilde{f}|_\Delta = f et \tilde{f} est linéaire sur les intervalles de [0,1]\setminus \Delta. L'application f\mapsto\tilde{f} définit alors une injection isométrique C(\Delta)\to C([0,1]) et le résultat découle de l'énoncé (1) de Banach-Mazur donné ci-dessus.

Remarques[modifier | modifier le code]

  • C([0,1]) est un espace de Banach universel par rapport aux sous-espaces images dans la classe de tous les espaces de Banach séparables; c'est précisément le résultat du théorème de Banach-Mazur.

Il existe d'autres espaces de Banach séparables universels par rapport aux sous-espaces images : on peut montrer que tout espace de Banach séparable est isométriquement isomorphe à un espace quotient de l'espace des suites ℓ1.

  • Aleksander Pełczyński a montré en 1962, que les propositions suivantes sur les espaces de Banach séparables E étaient équivalentes :
  1. E est un espace de Banach séparable universel par rapport aux sous-espaces images.
  2. E contient un sous-espace isomorphe et isométrique de C(\Delta).
  3. E contient un sous-espace isomorphe et isométrique de C([0,1]).
  4. Il existe des éléments x_{n,k}\in E pour n\in\N et k=0,1,\ldots 2^n-1, tels que x_{n,k}\,=\,x_{n+1,2k}+x_{n+1,2k+1} et \left\|\sum_{k=0}^{2^n-1}t_k x_{n,k}\right\| = \max_{k=0,\ldots 2^n-1}|t_k| pour tous les réels t_k.

Références[modifier | modifier le code]

  • (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Banach-Mazur » (voir la liste des auteurs)
  • (de) S. Banach et S. Mazur, « Zur Theorie der linearen Dimension », dans Studia Mathematica, vol. 4, 1933, p. 100-112
  • (de) A. Pełczyński, « Über die Universalität einiger Banachräume », dans Vestnik Leningrad. Univ. Ser. Mat. Meh. Astr., vol. 13, 1962, p. 22-29 (original en russe, trad. en allemand)
  • (en) P. Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, 1991
  • (en) Terry J. Morrison, Functional Analysis, An Introduction to Banach Space Theory, Wiley, 2001 (ISBN 0-471-37214-5)