Base orthonormale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir BON.

En géométrie vectorielle, une base orthonormale, ou base orthonormée, (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel, et  \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n), une base de En.

\mathcal B est dite orthonormale si et seulement si

\| \vec e_1 \| = \| \vec e_2 \| = ... = \| \vec e_n \| = 1
et,
pour tout  i \not = j, \vec e_i \perp \vec e_j ( c'est-à-dire ( \vec e_i \cdot \vec e_j) = 0 )

En particulier, si n = 1, alors \mathcal B = ( \vec e_1) est dite orthonormale si et seulement si

 \| \vec e_1 \| = 1.


Toute famille orthonormale est une famille libre, donc une base de En si elle contient n vecteurs. Une base orthonormale de En est donc une famille de n vecteurs 2 à 2 orthogonaux et de norme 1, c'est-à-dire, en utilisant le symbole de Kronecker, une famille  \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n) vérifiant

\forall i,j,  ( \vec e_i \cdot \vec e_j) = \delta_{ij}

Cette définition s'applique aussi sur un espace hermitien. Il correspond à une généralisation aux complexes d'un espace euclidien.

Repère orthonormal (ou orthonormé)[modifier | modifier le code]

Soient An un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien En et O un point quelconque de An, alors le repère

 \mathcal R = (\ O , \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n)

est dit orthonormal si et seulement si sa base associée  \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n) est elle-même orthonormale.

En géométrie dans l'espace[modifier | modifier le code]

En géométrie dans l'espace, la base est en général notée (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) au lieu de (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}).

La base est dite « directe » si \vec{k} est le produit vectoriel de \vec{i} et de \vec{j} (c'est-à-dire \vec{k} = \vec{i} \wedge \vec{j}).

Voir l'article Orientation (mathématiques).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Existence de bases orthonormales[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Procédé de Gram-Schmidt.

À partir d'une base quelconque d'un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt fournit une méthode constructive pour obtenir une base orthonormale de cet espace. Notamment, on peut affirmer :

Dans tout espace euclidien de dimension non nulle, il existe des bases orthonormales.

En appliquant ce résultat à l'orthogonal de l'espace engendré par une famille orthonormale de p vecteurs de En, on établit le théorème de la base orthonormale incomplète :

Toute famille orthonormale de vecteurs d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormale de cet espace.

L'existence de bases orthonormales permet d'établir que l'infinité de structures euclidiennes dont peut être muni un espace vectoriel — avec des notions d'orthogonalité différentes — sont toutes isomorphes entre elles[1].

Calculs dans une base orthonormale[modifier | modifier le code]

Soit  \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n) une base orthonormale de En.

La décomposition d'un vecteur de En dans cette base est donnée par :

\forall \vec x \in E_n,  \vec x=\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) \vec e_i.

L'expression du produit scalaire de deux vecteurs de En est alors donnée par :

\forall \vec x , \vec y \in E_n, ( \vec x \cdot \vec y) =\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) (\vec e_i \cdot \vec y).

L'expression du carré de la norme d'un vecteur de En est donc :

\forall \vec x  \in E_n,  \|\vec x\|^2 =\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x)^2.

Ces trois propriétés sont en fait équivalentes entre elles, et équivalentes au fait que la famille  \mathcal B = ( \vec e_1 , \vec e_2 , ... , \vec e_n) soit une base orthonormale de En.

M=[( \vec e_i \cdot u( \vec e_j))]_{1\le i,j\le n}.

Cela permet de caractériser les endomorphismes symétriques ou les automorphismes orthogonaux par leurs matrices dans une base orthonormale : elles sont respectivement symétriques et orthogonales.

  • Si En est un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien E, la projection orthogonale p( \vec x ) sur En d'un vecteur \vec x de E a pour expression
p( \vec x)=\sum_{i=1}^n (\vec e_i \cdot \vec x) \vec e_i.

Le caractère 1-lipschitzien d'un projecteur orthogonal permet d'en déduire l'inégalité de Bessel, qui comporte une généralisation à une famille orthonormale infinie.

Changement de base orthonormale[modifier | modifier le code]

Si  \mathcal B et  \mathcal C sont deux bases orthonormales de En, la matrice de passage de l'une vers l'autre est une matrice orthogonale. Notamment, l'inverse de cette matrice est égale à sa transposée.

Inversement, si la matrice de la famille  \mathcal C dans la base orthonormale  \mathcal B est orthogonale, alors  \mathcal C est une base orthonormale.

Les applications linéaires qui transforment une base orthonormale en une base orthonormale sont les automorphismes orthogonaux.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean Dieudonné, « Groupes : Algèbre, analyse, géométrie », dans Dictionnaire des mathématiques, Algèbre, analyse, géométrie, Albin Michel & Encyclopædia Universalis,‎ 2002, 924 p. (ISBN 2-226-09423-7), p. 534

Voir aussi[modifier | modifier le code]